Witaj! Zaczynamy podróż po fascynującym świecie trójkątów specjalnych. Przygotuj się na wizualną ucztę! Zrozumiemy razem trójkąty 30-60-90 i 45-45-90.
Trójkąt 30-60-90
Wyobraź sobie trójkąt równoboczny. Ma trzy równe boki i trzy kąty po 60 stopni.
Teraz przetnij go na pół, prostopadle do podstawy. Powstają dwa identyczne trójkąty prostokątne. To właśnie są trójkąty 30-60-90!
Jeden kąt ma 90 stopni (kąt prosty). Drugi ma 60 stopni, a trzeci – 30 stopni. Stąd nazwa.
Zależności Między Bokami
Boki takiego trójkąta mają specjalne relacje. Najważniejsza to stosunek długości boków: 1 : √3 : 2.
Najkrótszy bok, leżący naprzeciw kąta 30 stopni, oznaczmy jako a. To nasza baza.
Bok naprzeciw kąta 60 stopni (dłuższa przyprostokątna) ma długość a√3. Czyli a razy pierwiastek z 3.
Najdłuższy bok, czyli przeciwprostokątna (naprzeciw kąta 90 stopni), ma długość 2a. Czyli a razy 2.
Zapamiętaj! Krótszy bok (naprzeciw 30 stopni) razy √3 daje dłuższy bok (naprzeciw 60 stopni). Krótszy bok razy 2 daje przeciwprostokątną.
Przykład
Załóżmy, że krótszy bok a ma długość 5. Wtedy dłuższy bok ma długość 5√3, a przeciwprostokątna ma długość 10.
Wyobraź sobie drabinę opartą o ścianę. Kąt między drabiną a ziemią to 60 stopni, a kąt między ścianą a ziemią to 90 stopni. Kąt między drabiną a ścianą to 30 stopni. Jeśli odległość od ściany do podstawy drabiny (krótszy bok) wynosi 2 metry, to długość drabiny (przeciwprostokątna) wynosi 4 metry!
Trójkąt 45-45-90
Teraz czas na inny specjalny trójkąt. Wyobraź sobie kwadrat.
Przetnij kwadrat po przekątnej. Powstają dwa identyczne trójkąty prostokątne. To właśnie są trójkąty 45-45-90!
Jeden kąt ma 90 stopni (kąt prosty). Pozostałe dwa kąty są równe i mają po 45 stopni. Stąd nazwa.
Zależności Między Bokami
Ten trójkąt ma również specyficzny stosunek długości boków: 1 : 1 : √2.
Przyprostokątne (boki leżące przy kącie prostym) są równe. Oznaczmy je jako a.
Przeciwprostokątna (bok naprzeciw kąta prostego) ma długość a√2. Czyli a razy pierwiastek z 2.
Zapamiętaj! Bok razy √2 daje przeciwprostokątną.
Przykład
Jeśli przyprostokątna a ma długość 7, to przeciwprostokątna ma długość 7√2.
Pomyśl o serwetce w kształcie kwadratu. Przekątna serwetki tworzy trójkąt 45-45-90. Jeśli bok serwetki ma 20 cm, to przekątna ma 20√2 cm.
Zadania
Spróbujmy rozwiązać kilka zadań. Skup się na rysunku i zależnościach między bokami.
Zadanie 1
W trójkącie 30-60-90 przeciwprostokątna ma długość 12. Oblicz długość krótszego boku.
Rozwiązanie: Wiemy, że przeciwprostokątna to 2a. Zatem 2a = 12. Dzielimy obie strony przez 2. Otrzymujemy a = 6. Krótszy bok ma długość 6.
Zadanie 2
W trójkącie 45-45-90 przyprostokątna ma długość 4. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
Rozwiązanie: Wiemy, że przeciwprostokątna to a√2. Zatem przeciwprostokątna ma długość 4√2.
Zadanie 3
W trójkącie 30-60-90 dłuższa przyprostokątna ma długość 9√3. Oblicz długość krótszego boku i przeciwprostokątnej.
Rozwiązanie: Wiemy, że dłuższa przyprostokątna to a√3. Zatem a√3 = 9√3. Dzielimy obie strony przez √3. Otrzymujemy a = 9. Krótszy bok ma długość 9. Przeciwprostokątna ma długość 2a = 2 * 9 = 18.
Wskazówki
Rysuj! Zawsze rysuj trójkąt, żeby lepiej zrozumieć zadanie.
Oznaczaj! Zaznacz kąty i długości boków na rysunku.
Zapamiętaj stosunki! Znajomość stosunków boków w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90 to klucz do sukcesu.
Ćwicz! Rozwiązuj jak najwięcej zadań, żeby utrwalić wiedzę.
Mam nadzieję, że ta wizualna podróż po trójkątach specjalnych była dla Ciebie pomocna! Powodzenia w dalszej nauce!
