Zacznijmy od podstaw. Co to są liczby rzeczywiste? To wszystkie liczby, które możemy zapisać na osi liczbowej.
Obejmują one liczby wymierne i niewymierne.
Liczby Wymierne
Liczby wymierne to takie, które da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, czyli w postaci ułamka a/b, gdzie b jest różne od zera.
Przykłady: 1/2, -3/4, 5, 0. Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną, np. 5 = 5/1.
Liczby wymierne mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Na przykład 1/4 = 0.25 (skończone), 1/3 = 0.333... (nieskończone okresowe).
Działania na liczbach wymiernych
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (przez liczbę różną od zera) liczb wymiernych daje w wyniku liczbę wymierną.
Przykład: 1/2 + 1/4 = 3/4 (suma dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną).
Liczby Niewymierne
Liczby niewymierne to takie, których nie da się zapisać w postaci ułamka a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi.
Mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe. Czyli cyfry po przecinku nie powtarzają się w żaden regularny sposób.
Przykłady: √2, π (pi), e (liczba Eulera).
√2 ≈ 1.41421356... Widzimy, że rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe.
Działania na liczbach niewymiernych
Działania na liczbach niewymiernych mogą dać w wyniku liczbę wymierną lub niewymierną. To zależy od konkretnego przypadku.
Przykład 1: √2 * √2 = 2 (wynik jest liczbą wymierną).
Przykład 2: √2 + 1 (wynik jest liczbą niewymierną).
Oś Liczbowa
Oś liczbowa to prosta, na której zaznaczamy liczby. Każda liczba rzeczywista ma swoje miejsce na osi liczbowej.
Liczby wymierne i niewymierne razem wypełniają całą oś liczbową.
Przedziały
Przedział to zbiór liczb rzeczywistych zawartych pomiędzy dwiema danymi liczbami, zwanymi końcami przedziału.
Przedział otwarty: (a, b) oznacza wszystkie liczby pomiędzy a i b, ale bez a i b.
Przedział domknięty: [a, b] oznacza wszystkie liczby pomiędzy a i b, włącznie z a i b.
Przedział lewostronnie domknięty: [a, b) oznacza wszystkie liczby pomiędzy a i b, włącznie z a, ale bez b.
Przedział prawostronnie domknięty: (a, b] oznacza wszystkie liczby pomiędzy a i b, bez a, ale włącznie z b.
Możemy też mieć przedziały nieograniczone: (a, +∞), (-∞, b), [a, +∞), (-∞, b]. Symbol nieskończoności (∞) oznacza, że przedział rozciąga się bez końca w danym kierunku. Nigdy nie używamy nawiasu kwadratowego przy nieskończoności.
Wartość Bezwzględna
Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Oznaczamy ją pionowymi kreskami: |x|.
|x| = x, jeśli x ≥ 0
|x| = -x, jeśli x < 0
Przykłady: |3| = 3, |-5| = 5, |0| = 0.
Własności wartości bezwzględnej
|a * b| = |a| * |b|
|a / b| = |a| / |b| (dla b ≠ 0)
|a + b| ≤ |a| + |b| (nierówność trójkąta)
Działania na Potęgach
Przypomnijmy sobie prawa działań na potęgach.
am * an = am+n
am / an = am-n
(am)n = am*n
(a * b)n = an * bn
(a / b)n = an / bn
a0 = 1 (dla a ≠ 0)
a-n = 1 / an
Pierwiastki
Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka liczba b, że b2 = a. Oznaczamy: √a.
Pierwiastek sześcienny z liczby a to taka liczba b, że b3 = a. Oznaczamy: 3√a.
Ogólnie, pierwiastek n-tego stopnia z liczby a to taka liczba b, że bn = a. Oznaczamy: n√a.
Pamiętaj! Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Działania na pierwiastkach
n√a * n√b = n√(a * b)
n√a / n√b = n√(a / b)
(n√a)m = n√am
Przygotowanie do Sprawdzianu
Aby dobrze przygotować się do sprawdzianu z liczb rzeczywistych, warto:
- Przerobić zadania z podręcznika.
- Rozwiązać arkusze z poprzednich lat.
- Zwrócić uwagę na zadania sprawiające trudności i poprosić nauczyciela o pomoc.
- Powtórzyć definicje i wzory.
Powodzenia na sprawdzianie!
