Hej! Czujesz stres przed sprawdzianem z potęg i pierwiastków? Spokojnie, jestem tu, żeby Ci pomóc! Razem przejdziemy przez najważniejsze zagadnienia i sprawimy, że ten sprawdzian nie będzie taki straszny.
Potęgi – Wprowadzenie
Zacznijmy od podstaw. Co to w ogóle jest potęga? To po prostu skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika przez siebie.
Na przykład, zamiast pisać 2 * 2 * 2, piszemy 23. Tutaj 2 to podstawa potęgi, a 3 to wykładnik.
Pamiętaj: podstawa mówi nam, co mnożymy, a wykładnik – ile razy.
Ważne zasady dotyczące potęg
Kilka zasad, które musisz znać na pamięć:
- a0 = 1 (dla każdego a różnego od zera)
- a1 = a
Czyli cokolwiek podniesiesz do potęgi zerowej, wynik to 1. Cokolwiek podniesiesz do potęgi pierwszej, wynik to to samo, co podstawa.
Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie
Kiedy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:
am * an = am+n
Przykład: 22 * 23 = 25 (czyli 4 * 8 = 32)
Kiedy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki:
am / an = am-n
Przykład: 35 / 32 = 33 (czyli 243 / 9 = 27)
Potęgowanie potęgi
Kiedy potęgujemy potęgę, mnożymy wykładniki:
(am)n = am*n
Przykład: (52)3 = 56 (czyli 253 = 15625)
Potęgowanie iloczynu i ilorazu
Potęga iloczynu to iloczyn potęg:
(a * b)n = an * bn
Przykład: (2 * 3)2 = 22 * 32 (czyli 62 = 4 * 9 = 36)
Potęga ilorazu to iloraz potęg:
(a / b)n = an / bn
Przykład: (6 / 2)3 = 63 / 23 (czyli 33 = 216 / 8 = 27)
Pierwiastki – Wprowadzenie
Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania.
Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 9 to 3, bo 3 * 3 = 9. Zapisujemy to tak: √9 = 3.
Ogólnie: √[n](a) = b, jeśli bn = a.
Gdzie:
- √ to znak pierwiastka
- n to stopień pierwiastka (jeśli n = 2, mówimy o pierwiastku kwadratowym i często pomijamy 2)
- a to liczba podpierwiastkowa
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny
Najczęściej spotykane pierwiastki to pierwiastek kwadratowy (stopnia 2) i pierwiastek sześcienny (stopnia 3).
Pierwiastek kwadratowy z liczby a to liczba, która podniesiona do kwadratu (do potęgi drugiej) daje a.
Pierwiastek sześcienny z liczby a to liczba, która podniesiona do sześcianu (do potęgi trzeciej) daje a.
Przykłady:
- √16 = 4, bo 42 = 16
- ∛8 = 2, bo 23 = 8
Działania na pierwiastkach
Podobnie jak z potęgami, możemy wykonywać działania na pierwiastkach.
Pierwiastek iloczynu to iloczyn pierwiastków (o tym samym stopniu):
√[n](a * b) = √[n](a) * √[n](b)
Przykład: √4 * √9 = √36 (czyli 2 * 3 = 6)
Pierwiastek ilorazu to iloraz pierwiastków (o tym samym stopniu):
√[n](a / b) = √[n](a) / √[n](b)
Przykład: √100 / √4 = √25 (czyli 10 / 2 = 5)
Włączanie i wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Czasami możemy uprościć pierwiastek, wyłączając czynnik przed znak pierwiastka. Polega to na znalezieniu czynnika, który jest kwadratem (dla pierwiastka kwadratowego) lub sześcianem (dla pierwiastka sześciennego).
Przykład: √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3
Możemy też włączyć czynnik pod znak pierwiastka, podnosząc go do odpowiedniej potęgi (zależnej od stopnia pierwiastka).
Przykład: 3√2 = √(32 * 2) = √(9 * 2) = √18
Potęgi o wykładniku ujemnym i ułamkowym (dodatkowe)
Jeśli masz potęgę o wykładniku ujemnym, to jest to odwrotność potęgi z wykładnikiem dodatnim:
a-n = 1 / an
Przykład: 2-2 = 1 / 22 = 1 / 4
Potęga o wykładniku ułamkowym związana jest z pierwiastkiem:
am/n = √[n](am)
Przykład: 41/2 = √4 = 2
Podsumowanie
To już prawie wszystko! Pamiętaj o kilku najważniejszych rzeczach:
- Potęga to skrócony zapis mnożenia.
- Znaj zasady mnożenia, dzielenia i potęgowania potęg.
- Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania.
- Umięj wyłączać i włączać czynnik przed/pod znak pierwiastka.
- Zrozum potęgi o wykładnikach ujemnych i ułamkowych.
Powodzenia na sprawdzianie! Wiem, że dasz radę. Przejrzyj jeszcze raz notatki, rozwiąż kilka zadań i bądź pewny siebie!
