Hej! Zapewne masz przed sobą ćwiczenia z podręcznika "Matematyka z Plusem 4". Nie martw się, wspólnie postaramy się je zrozumieć i rozwiązać. Pamiętaj, matematyka to jak układanka – krok po kroku i wszystko staje się jasne.
Funkcja Kwadratowa – Co to takiego?
Zacznijmy od podstaw. Funkcja kwadratowa to taka funkcja, której wykres przypomina literę "U". Jest to parabola. Możemy ją zapisać w postaci ogólnej jako: f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c to liczby, a a jest różne od zera.
Pomyśl o rzucie piłką. Tor lotu piłki często przypomina fragment paraboli. To właśnie przykład funkcji kwadratowej w życiu codziennym. Zmiana wysokości piłki zależy od czasu, a zależność ta ma kształt paraboli. Rzucając piłkę, nadajemy jej początkową prędkość, a siła grawitacji sprawia, że piłka zwalnia, wznosi się, a potem opada.
Współczynniki a, b, c – Co oznaczają?
Współczynnik a odpowiada za "szerokość" paraboli i kierunek jej ramion. Jeśli a jest dodatnie, parabola ma ramiona skierowane do góry (uśmiechnięta buzia). Jeśli a jest ujemne, parabola ma ramiona skierowane do dołu (smutna buzia). Im większa wartość bezwzględna a, tym parabola jest węższa. Wyobraź sobie, że ściskasz boki paraboli – to właśnie robi większe a.
Współczynnik b wpływa na położenie wierzchołka paraboli w poziomie. Mówiąc prościej, przesuwa parabolę w lewo lub w prawo. Wraz ze współczynnikiem a, współczynnik b wpływa na położenie osi symetrii paraboli, co zobaczymy później.
Współczynnik c to miejsce, w którym parabola przecina oś Y (oś pionową). To bardzo proste do zapamiętania! Wstawiając x = 0 do wzoru funkcji kwadratowej, otrzymujemy f(0) = a * 02 + b * 0 + c = c. Zatem punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne (0, c).
Miejsca Zerowe – Gdzie parabola przecina oś X?
Miejsca zerowe to te punkty, w których parabola przecina oś X (oś poziomą). Są to wartości x, dla których f(x) = 0. Inaczej mówiąc, to rozwiązania równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0.
Aby znaleźć miejsca zerowe, najczęściej korzystamy z delty (Δ). Delta to taki "wyróżnik" równania kwadratowego. Obliczamy ją ze wzoru: Δ = b2 - 4ac. Wartość delty mówi nam o tym, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa.
Jeśli Δ > 0, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe. Parabola przecina oś X w dwóch punktach. Jeśli Δ = 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe (podwójne). Parabola dotyka osi X w jednym punkcie. Mówimy wtedy o wierzchołku paraboli. Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych. Parabola nie przecina osi X.
Wzory na miejsca zerowe (gdy Δ > 0) wyglądają następująco: x1 = (-b - √Δ) / 2a x2 = (-b + √Δ) / 2a
Jeśli Δ = 0, to miejsce zerowe (wierzchołek) obliczamy ze wzoru: xw = -b / 2a
Wierzchołek Paraboli – Najwyższy lub Najniższy Punkt
Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola osiąga swoje minimum (jeśli a > 0) lub maksimum (jeśli a < 0). Współrzędne wierzchołka oznaczamy jako (xw, yw).
Współrzędną x wierzchołka obliczamy ze wzoru: xw = -b / 2a. Współrzędną y wierzchołka obliczamy ze wzoru: yw = -Δ / 4a.
Wierzchołek paraboli jest bardzo ważny, bo pozwala nam określić, gdzie funkcja przyjmuje swoje największe lub najmniejsze wartości. Pomyśl o wierzchołku paraboli jako o "górce" lub "dołku" na wykresie funkcji.
Postać Kanoniczna i Iloczynowa Funkcji Kwadratowej
Funkcję kwadratową możemy zapisać nie tylko w postaci ogólnej, ale także w postaci kanonicznej i iloczynowej. Każda z tych postaci ma swoje zalety i przydaje się w różnych sytuacjach.
Postać kanoniczna: f(x) = a(x - xw)2 + yw. Gdzie (xw, yw) to współrzędne wierzchołka paraboli. Z tej postaci łatwo odczytać współrzędne wierzchołka. Przekształcenie z postaci ogólnej do kanonicznej wymaga "zwijania" wyrażenia do kwadratu.
Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x1)(x - x2). Gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji. Z tej postaci łatwo odczytać miejsca zerowe. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0, czyli gdy funkcja ma miejsca zerowe.
Przykładowe Zadanie
Rozwiążmy przykładowe zadanie: Znajdź wierzchołek, miejsca zerowe (jeśli istnieją) i postać kanoniczną funkcji f(x) = x2 - 4x + 3.
Krok 1: Odczytujemy współczynniki: a = 1, b = -4, c = 3.
Krok 2: Obliczamy deltę: Δ = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4. Ponieważ Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Krok 3: Obliczamy miejsca zerowe: x1 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1 x2 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
Krok 4: Obliczamy współrzędne wierzchołka: xw = -(-4) / (2 * 1) = 2 yw = -4 / (4 * 1) = -1 Wierzchołek ma współrzędne (2, -1).
Krok 5: Zapisujemy postać kanoniczną: f(x) = 1(x - 2)2 - 1, czyli f(x) = (x - 2)2 - 1.
Gotowe! Znaleźliśmy wszystko, o co pytano w zadaniu. Pamiętaj, że najważniejsza jest praktyka. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz funkcję kwadratową.
Powodzenia!
Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Ci zrozumieć podstawy funkcji kwadratowej. Teraz śmiało możesz wracać do ćwiczeń z "Matematyki z Plusem 4". Pamiętaj, aby robić przerwy i wracać do zadań ze świeżym umysłem. Powodzenia!
