Hej! Chcesz zrozumieć, czym jest NWD, czyli Największy Wspólny Dzielnik liczb? To wbrew pozorom bardzo przydatna umiejętność, a po przeczytaniu tego artykułu na pewno ją opanujesz. Zaczynamy!
Co to jest dzielnik?
Zacznijmy od podstaw. Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba dzieli się bez reszty. Na przykład, weźmy liczbę 12. Dzielnikami liczby 12 są: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Dlaczego? Bo 12 podzielone przez każdą z tych liczb daje liczbę całkowitą, bez żadnej reszty.
Sprawdźmy to: 12 / 1 = 12, 12 / 2 = 6, 12 / 3 = 4, 12 / 4 = 3, 12 / 6 = 2, 12 / 12 = 1. Widzisz? Wszystko się zgadza. Dzielnikiem liczby 7 jest 1 i 7, ponieważ 7 / 1 = 7 i 7 / 7 = 1.
A co z liczbą 5? Jej dzielniki to 1 i 5. Liczby, które mają tylko dwa dzielniki (1 i samą siebie), nazywamy liczbami pierwszymi. 7 i 5 to przykłady liczb pierwszych. To ważna informacja, zapamiętaj ją!
Co to znaczy "wspólny"?
Teraz przejdźmy do słowa "wspólny". Wspólny oznacza coś, co dotyczy kilku rzeczy jednocześnie. W kontekście liczb, wspólny dzielnik to taki dzielnik, który pasuje do kilku liczb naraz. Weźmy dwie liczby: 12 i 18.
Dzielniki liczby 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Dzielniki liczby 18 to: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Które dzielniki występują w obu listach? Spójrzmy: 1, 2, 3 i 6. To są właśnie wspólne dzielniki liczb 12 i 18.
Wspólne dzielniki to liczby, które dzielą obie liczby bez reszty. Czyli zarówno 12, jak i 18 dzielą się bez reszty przez 1, 2, 3 i 6. Inaczej mówiąc, 12/1 = 12, 18/1 = 18; 12/2 = 6, 18/2 = 9; 12/3 = 4, 18/3 = 6; 12/6 = 2, 18/6 = 3.
Czym jest Największy Wspólny Dzielnik (NWD)?
Doszliśmy do sedna! NWD, czyli Największy Wspólny Dzielnik, to po prostu największa liczba spośród wszystkich wspólnych dzielników. Mając wspólne dzielniki liczb 12 i 18 (1, 2, 3, 6), która liczba jest największa? Oczywiście 6!
Zatem NWD(12, 18) = 6. Oznacza to, że 6 jest największą liczbą, przez którą zarówno 12, jak i 18 dzielą się bez reszty. Bardzo proste, prawda?
Podsumowując, aby znaleźć NWD dwóch liczb, musisz: 1. Wypisać wszystkie dzielniki pierwszej liczby. 2. Wypisać wszystkie dzielniki drugiej liczby. 3. Znaleźć wspólne dzielniki obu liczb. 4. Wybrać największy z tych wspólnych dzielników. Ten największy to właśnie NWD!
Przykład z życia wzięty
Wyobraź sobie, że masz 12 ciasteczek i 18 cukierków. Chcesz je rozdzielić równo pomiędzy grupę dzieci, tak aby każde dziecko dostało tyle samo ciasteczek i tyle samo cukierków. Ile maksymalnie dzieci możesz obdarować?
Odpowiedź to właśnie NWD(12, 18), czyli 6. Możesz obdarować 6 dzieci. Każde dziecko dostanie wtedy 2 ciasteczka (12 / 6 = 2) i 3 cukierki (18 / 6 = 3). Nie możesz obdarować więcej dzieci, zachowując równy podział.
Inny przykład: masz kawałek materiału o długości 24 cm i drugi kawałek o długości 36 cm. Chcesz pociąć oba kawałki na jak najdłuższe odcinki, tak aby wszystkie odcinki miały taką samą długość. Jaką długość powinien mieć każdy odcinek?
Tutaj również potrzebujesz NWD(24, 36). Dzielniki liczby 24 to: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Dzielniki liczby 36 to: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Wspólne dzielniki to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największy z nich to 12.
Zatem NWD(24, 36) = 12. Każdy odcinek powinien mieć długość 12 cm. Z pierwszego kawałka otrzymasz 2 odcinki (24 / 12 = 2), a z drugiego 3 odcinki (36 / 12 = 3).
Algorytm Euklidesa
Istnieje szybszy sposób na znajdowanie NWD, szczególnie dla dużych liczb. Nazywa się on Algorytmem Euklidesa. Jest to bardzo sprytna metoda, która wykorzystuje dzielenie z resztą.
Algorytm działa następująco: 1. Dzielimy większą liczbę przez mniejszą i obliczamy resztę z dzielenia. 2. Jeśli reszta jest równa 0, to mniejsza liczba jest NWD. 3. Jeśli reszta nie jest równa 0, to zamieniamy większą liczbę na mniejszą, a mniejszą na resztę z dzielenia. 4. Powtarzamy kroki 1-3, aż reszta będzie równa 0.
Spróbujmy znaleźć NWD(48, 18) używając Algorytmu Euklidesa. 1. 48 / 18 = 2 reszty 12 2. Reszta nie jest równa 0, więc zamieniamy 48 na 18, a 18 na 12. 3. 18 / 12 = 1 reszty 6 4. Reszta nie jest równa 0, więc zamieniamy 18 na 12, a 12 na 6. 5. 12 / 6 = 2 reszty 0 6. Reszta jest równa 0, więc NWD(48, 18) = 6.
Widzisz, jak to działa? Za każdym razem zmniejszamy liczby, aż w końcu reszta z dzielenia wyniesie 0. Ostatnia niezerowa reszta (czyli w tym przypadku 6) jest naszym szukanym NWD.
Podsumowanie
Mam nadzieję, że teraz rozumiesz, czym jest NWD i jak go znaleźć. Pamiętaj, że NWD to Największy Wspólny Dzielnik, czyli największa liczba, przez którą dwie (lub więcej) liczby dzielą się bez reszty. Możesz go znaleźć wypisując dzielniki każdej liczby i wybierając największy wspólny dzielnik, albo użyć szybszego Algorytmu Euklidesa.
NWD przydaje się w wielu sytuacjach, od dzielenia ciasteczek po krojenie materiałów. To ważna umiejętność matematyczna, która z pewnością Ci się przyda. Powodzenia w dalszej nauce!
