Witajcie, ósmoklasiści! Przygotowujecie się do sprawdzianu z Twierdzenia Pitagorasa? Świetnie! Ten poradnik pomoże Wam wszystko uporządkować i poczuć się pewniej.
Wprowadzenie do Twierdzenia Pitagorasa
Zacznijmy od podstaw. Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko i wyłącznie trójkątów prostokątnych.
Co to jest trójkąt prostokątny? To taki trójkąt, który ma jeden kąt prosty (90 stopni).
W trójkącie prostokątnym wyróżniamy:
- Przeciwprostokątną: To bok, który leży naprzeciwko kąta prostego. Jest on najdłuższy w trójkącie.
- Przyprostokątne: To dwa pozostałe boki, które tworzą kąt prosty.
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Brzmi strasznie? Spokojnie, zaraz to rozjaśnimy!
Wzór na Twierdzenie Pitagorasa
Najważniejszy wzór do zapamiętania to:
a2 + b2 = c2
Gdzie:
- a i b to długości przyprostokątnych
- c to długość przeciwprostokątnej
Pamiętajcie, że a i b można zamieniać miejscami. Ważne, żeby c zawsze było przeciwprostokątną!
Zastosowania Twierdzenia Pitagorasa – Obliczanie Długości Boków
Najczęstsze zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa to obliczanie długości jednego z boków trójkąta prostokątnego, gdy znamy długości dwóch pozostałych.
Przykład 1: Obliczanie przeciwprostokątnej
Mamy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości 3 cm i 4 cm. Chcemy obliczyć długość przeciwprostokątnej (c).
Podstawiamy do wzoru:
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
Żeby obliczyć c, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z 25:
c = √25
c = 5 cm
Zatem długość przeciwprostokątnej wynosi 5 cm.
Przykład 2: Obliczanie przyprostokątnej
Mamy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 13 cm, a jedna z przyprostokątnych ma długość 5 cm. Chcemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej (b).
Podstawiamy do wzoru:
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
Teraz musimy odjąć 25 od obu stron równania:
b2 = 169 - 25
b2 = 144
Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z 144:
b = √144
b = 12 cm
Zatem długość drugiej przyprostokątnej wynosi 12 cm.
Zastosowania Twierdzenia Pitagorasa – Sprawdzanie, Czy Trójkąt Jest Prostokątny
Możemy też użyć Twierdzenia Pitagorasa, żeby sprawdzić, czy trójkąt o danych długościach boków jest prostokątny.
Wystarczy, że podstawimy długości boków do wzoru a2 + b2 = c2. Jeśli równość jest prawdziwa, to trójkąt jest prostokątny. Jeśli nie, to trójkąt nie jest prostokątny.
Przykład:
Czy trójkąt o bokach długości 6 cm, 8 cm i 10 cm jest prostokątny?
Zakładamy, że 10 cm to długość przeciwprostokątnej (najdłuższy bok).
Podstawiamy do wzoru:
62 + 82 = 102
36 + 64 = 100
100 = 100
Równość jest prawdziwa, więc trójkąt jest prostokątny.
Zastosowania Twierdzenia Pitagorasa – Zadania Praktyczne
Twierdzenie Pitagorasa przydaje się w wielu sytuacjach praktycznych. Na przykład:
- Obliczanie długości drabiny opierającej się o ścianę.
- Obliczanie przekątnej prostokąta lub kwadratu.
- Sprawdzanie, czy kąt między dwoma ścianami jest prosty.
Pamiętajcie, żeby zawsze rysować sobie pomocniczy rysunek, żeby lepiej zrozumieć zadanie!
Trójki Pitagorejskie
Trójki Pitagorejskie to zestawy trzech liczb naturalnych, które spełniają Twierdzenie Pitagorasa. Najpopularniejsze to:
- 3, 4, 5
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
Znajomość tych trójek może przyspieszyć rozwiązywanie niektórych zadań.
Podsumowanie
Twierdzenie Pitagorasa:
- Dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.
- Wzór: a2 + b2 = c2 (gdzie c to przeciwprostokątna).
- Służy do obliczania długości boków i sprawdzania, czy trójkąt jest prostokątny.
- Ma wiele zastosowań praktycznych.
Pamiętajcie o rysowaniu rysunków pomocniczych i dokładnym analizowaniu zadań. Powodzenia na sprawdzianie! Jesteście świetni!
