Wzory Viète'a to potężne narzędzie w algebrze. Umożliwiają one powiązanie współczynników wielomianu z jego pierwiastkami. Skupimy się na wielomianie trzeciego stopnia.
Definicja wielomianu trzeciego stopnia
Wielomian trzeciego stopnia to wyrażenie postaci: ax3 + bx2 + cx + d. Gdzie a, b, c, i d są współczynnikami. Ważne jest, żeby a nie było równe zero. Zapewnia to, że mamy do czynienia z wielomianem stopnia trzeciego, a nie niższego.
Przykładem wielomianu trzeciego stopnia jest: 2x3 + 3x2 - 5x + 1. Tutaj a=2, b=3, c=-5, i d=1.
Wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia
Załóżmy, że nasz wielomian trzeciego stopnia ax3 + bx2 + cx + d ma trzy pierwiastki. Oznaczmy je jako x1, x2, i x3. Wzory Viète'a wiążą współczynniki wielomianu z sumą, sumą iloczynów parami i iloczynem pierwiastków.
Wzór 1: Suma pierwiastków: x1 + x2 + x3 = -b/a. Oznacza to, że suma wszystkich trzech pierwiastków jest równa minus współczynnik przy x2 podzielony przez współczynnik przy x3.
Wzór 2: Suma iloczynów parami: x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a. Czyli suma wszystkich możliwych iloczynów dwóch różnych pierwiastków jest równa współczynnikowi przy x podzielonemu przez współczynnik przy x3.
Wzór 3: Iloczyn pierwiastków: x1x2x3 = -d/a. Oznacza to, że iloczyn wszystkich trzech pierwiastków jest równy minus wyraz wolny (d) podzielony przez współczynnik przy x3.
Przykład zastosowania wzorów Viète'a
Rozważmy wielomian: x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0. W tym przypadku, a = 1, b = -6, c = 11, i d = -6.
Zgodnie ze wzorami Viète'a, mamy:
x1 + x2 + x3 = -(-6)/1 = 6
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 11/1 = 11
x1x2x3 = -(-6)/1 = 6
Możemy zauważyć, że pierwiastkami tego wielomianu są: x1 = 1, x2 = 2, i x3 = 3. Sprawdźmy, czy nasze obliczenia się zgadzają:
1 + 2 + 3 = 6 (zgadza się)
(1*2) + (1*3) + (2*3) = 2 + 3 + 6 = 11 (zgadza się)
1 * 2 * 3 = 6 (zgadza się)
Wszystkie warunki są spełnione. Wzory Viète'a pozwoliły nam zweryfikować, że znalezione pierwiastki są poprawne.
Praktyczne zastosowania
Wzory Viète'a znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki. Często są wykorzystywane do:
1. Sprawdzania poprawności znalezionych pierwiastków wielomianu.
2. Wyznaczania jednego z pierwiastków, jeżeli znamy pozostałe oraz współczynniki wielomianu.
3. Upraszczania równań i nierówności algebraicznych.
4. Analizowania właściwości pierwiastków wielomianów, na przykład ich znaku.
5. Rozwiązywania zadań konkursowych i olimpijskich. W których to, znajomość wzorów vietea potrafi uprościć rozwiązanie.
Ważne uwagi
Należy pamiętać, że wzory Viète'a obowiązują dla wielomianów, które mają pierwiastki (rzeczywiste lub zespolone). Dla wielomianów trzeciego stopnia zawsze istnieją trzy pierwiastki (licząc z krotnościami), nawet jeśli nie wszystkie są rzeczywiste.
Współczynnik a musi być różny od zera. Jeśli a = 0, to nie mamy do czynienia z wielomianem trzeciego stopnia.
Wzory Viète'a ułatwiają analizę i rozwiązywanie problemów związanych z wielomianami. Są one fundamentalnym narzędziem w algebrze i warto je dobrze zrozumieć.
Podsumowując, wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia to trzy proste zależności, które pozwalają powiązać współczynniki wielomianu z jego pierwiastkami. Znajomość tych wzorów jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu różnego rodzaju zadań matematycznych.
