Hej! Gotowi na powtórkę z geometrii? Super! Dziś skupimy się na wzorze na wysokość w trójkącie prostokątnym. To ważny temat, który często pojawia się na egzaminach.
Co to jest wysokość w trójkącie prostokątnym?
Wysokość w trójkącie to odcinek prostopadły poprowadzony z wierzchołka do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia).
W trójkącie prostokątnym sytuacja jest nieco specyficzna. Dwie z wysokości są jednocześnie przyprostokątnymi!
Ale co z trzecią wysokością? To ona jest najbardziej interesująca, ponieważ opada na przeciwprostokątną.
Wzór na wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną
Okay, przejdźmy do konkretów. Jak obliczyć tę wysokość (oznaczmy ją jako h)?
Istnieją na to dwa główne sposoby. Oba są bardzo przydatne, więc warto je znać!
Sposób 1: Z pola powierzchni trójkąta
Pamiętasz wzór na pole trójkąta? P = (1/2) * podstawa * wysokość
W trójkącie prostokątnym możemy obliczyć pole na dwa sposoby:
1. Używając przyprostokątnych (a i b) jako podstawy i wysokości: P = (1/2) * a * b
2. Używając przeciwprostokątnej (c) jako podstawy i naszej szukanej wysokości (h): P = (1/2) * c * h
Skoro to ten sam trójkąt, to pola muszą być równe!
Czyli: (1/2) * a * b = (1/2) * c * h
Możemy skrócić (1/2) po obu stronach:
a * b = c * h
Teraz wystarczy wyznaczyć h, dzieląc obie strony przez c:
h = (a * b) / c
I to jest nasz pierwszy wzór! Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną równa się iloczynowi przyprostokątnych podzielonemu przez długość przeciwprostokątnej.
Sposób 2: Z podobieństwa trójkątów
Trójkąt prostokątny podzielony wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną tworzy dwa mniejsze trójkąty. Co ważne, te trzy trójkąty (duży i dwa małe) są podobne!
Oznacza to, że stosunki ich boków są równe. To klucz do drugiego sposobu.
Nazwijmy odcinki, na jakie wysokość podzieliła przeciwprostokątną, jako x i y. Zatem c = x + y.
Z podobieństwa trójkątów wynika, że:
h / a = b / c (stosunek wysokości do jednej przyprostokątnej w małym trójkącie jest równy stosunkowi drugiej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w dużym trójkącie)
lub
h / b = a / c (stosunek wysokości do drugiej przyprostokątnej w małym trójkącie jest równy stosunkowi pierwszej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w dużym trójkącie)
Oba te równania, po przekształceniu, dadzą nam ten sam wzór, który wyprowadziliśmy wcześniej:
h = (a * b) / c
Jednak, w niektórych zadaniach, informacja o podobieństwie trójkątów może być kluczowa do rozwiązania!
Jak obliczyć przeciwprostokątną (c)?
W obu wzorach potrzebujemy długości przeciwprostokątnej (c). Co zrobić, jeśli jej nie znamy?
Na ratunek przychodzi Twierdzenie Pitagorasa!
a2 + b2 = c2
Czyli: c = √(a2 + b2)
Znając długości przyprostokątnych (a i b), zawsze możesz obliczyć długość przeciwprostokątnej (c).
Kiedy używać którego wzoru?
Oba wzory (w zasadzie to ten sam wzór, tylko wyprowadzony na dwa sposoby) są równoważne.
h = (a * b) / c
Użyj go, gdy znasz długości przyprostokątnych (a i b) oraz przeciwprostokątnej (c).
Pamiętaj, że jeśli nie znasz c, możesz ją obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa.
Zrozumienie podobieństwa trójkątów jest kluczowe. Możesz natrafić na zadania, w których bezpośrednie użycie wzoru nie wystarczy, ale analiza podobieństwa trójkątów doprowadzi do rozwiązania.
Przykładowe zadanie
Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a = 3 i b = 4. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.
Krok 1: Obliczamy przeciwprostokątną (c) z Twierdzenia Pitagorasa:
c = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Krok 2: Używamy wzoru na wysokość:
h = (a * b) / c = (3 * 4) / 5 = 12 / 5 = 2.4
Odpowiedź: Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi 2.4.
Kilka dodatkowych wskazówek
Rysuj rysunki! Zawsze! Pomogą Ci zrozumieć zadanie i zobaczyć relacje między bokami i wysokościami.
Pamiętaj o jednostkach! Jeśli boki są podane w centymetrach, wysokość też będzie w centymetrach.
Sprawdzaj, czy wynik ma sens. Wysokość nie może być dłuższa od żadnej z przyprostokątnych.
Podsumowanie
Podsumujmy najważniejsze punkty:
- Wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną to odcinek prostopadły do przeciwprostokątnej, poprowadzony z wierzchołka kąta prostego.
- Wzór na wysokość: h = (a * b) / c, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
- Przeciwprostokątną można obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa: c = √(a2 + b2).
- Trójkąty powstałe po podzieleniu trójkąta prostokątnego wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną są do siebie podobne.
Mam nadzieję, że to powtórzenie było pomocne! Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, praktyka czyni mistrza, więc rozwiązuj jak najwięcej zadań.
