Cześć! Zastanawiałeś się kiedyś, jak obliczyć długość najdłuższego boku w trójkącie prostokątnym?
Mamy na to sprytny sposób!
Trójkąt Prostokątny: Krótka powtórka
Najpierw, co to w ogóle jest trójkąt prostokątny?
To taki trójkąt, który ma jeden kąt prosty. Kąt prosty ma 90 stopni.
Wyobraź sobie róg kartki papieru albo kąt między ścianą a podłogą. To są kąty proste!
W trójkącie prostokątnym mamy trzy boki.
Dwa krótsze boki tworzą kąt prosty. Nazywamy je przyprostokątnymi.
Najdłuższy bok, który leży naprzeciwko kąta prostego, to przeciwprostokątna.
To właśnie długość przeciwprostokątnej chcemy obliczyć.
Kim był Pitagoras?
Żeby to zrobić, musimy poznać pewnego mądrego Greka. Nazywał się Pitagoras.
Pitagoras żył bardzo dawno temu. Odkrył on ważną zależność w trójkątach prostokątnych.
Twierdzenie Pitagorasa: Sekretny Wzór
Ta zależność to Twierdzenie Pitagorasa. Brzmi skomplikowanie, ale jest całkiem proste.
Mówi ono, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Uff, trochę trudne? Spokojnie, zaraz to uprościmy.
Oznaczmy długości boków:
- a - długość jednej przyprostokątnej
- b - długość drugiej przyprostokątnej
- c - długość przeciwprostokątnej
Wtedy Twierdzenie Pitagorasa wygląda tak: a2 + b2 = c2
Widzisz? Już lepiej!
Przeciwprostokątna: Jak ją znaleźć?
Chcemy znaleźć wzór na przeciwprostokątną, czyli c.
Znamy wzór: a2 + b2 = c2
Potrzebujemy wyznaczyć c.
Żeby to zrobić, musimy spierwiastkować obie strony równania.
Pierwiastek kwadratowy "zabija" kwadrat.
Więc pierwiastek kwadratowy z c2 to po prostu c.
Ostatecznie wzór na przeciwprostokątną wygląda tak: c = √(a2 + b2)
To jest właśnie ten wzór, którego szukaliśmy!
Użycie Wzoru: Przykłady
Teraz zobaczmy, jak ten wzór działa w praktyce.
Przykład 1: Prosty trójkąt
Mamy trójkąt prostokątny. Jedna przyprostokątna ma długość 3 cm, a druga 4 cm. Ile wynosi długość przeciwprostokątnej?
Używamy wzoru: c = √(a2 + b2)
Podstawiamy: c = √(32 + 42)
Obliczamy: c = √(9 + 16)
c = √25
c = 5 cm
Długość przeciwprostokątnej wynosi 5 cm.
Przykład 2: Drabina przy ścianie
Drabina o długości 5 metrów jest oparta o ścianę. Dolny koniec drabiny znajduje się 3 metry od ściany. Na jakiej wysokości na ścianie znajduje się górny koniec drabiny?
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny. Drabina to przeciwprostokątna (c = 5 m). Odległość od ściany to jedna przyprostokątna (a = 3 m). Wysokość, na której jest drabina, to druga przyprostokątna (b - szukana).
Mamy wzór: a2 + b2 = c2
Chcemy znaleźć b, więc przekształcamy wzór: b2 = c2 - a2
Podstawiamy: b2 = 52 - 32
Obliczamy: b2 = 25 - 9
b2 = 16
b = √16
b = 4 metry
Górny koniec drabiny znajduje się na wysokości 4 metrów.
Przykład 3: Boisko sportowe
Wyobraź sobie boisko w kształcie prostokąta. Ma ono wymiary 60 metrów na 80 metrów. Ile wynosi długość przekątnej boiska?
Przekątna boiska dzieli je na dwa trójkąty prostokątne. Boki boiska to przyprostokątne (a = 60 m, b = 80 m). Przekątna to przeciwprostokątna (c - szukana).
Używamy wzoru: c = √(a2 + b2)
Podstawiamy: c = √(602 + 802)
Obliczamy: c = √(3600 + 6400)
c = √10000
c = 100 metrów
Długość przekątnej boiska wynosi 100 metrów.
Podsumowanie
Wzór na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym to c = √(a2 + b2). Jest on oparty na Twierdzeniu Pitagorasa.
Pamiętaj, żeby najpierw podnieść długości przyprostokątnych do kwadratu, dodać je do siebie, a następnie obliczyć pierwiastek kwadratowy z wyniku.
Teraz już wiesz, jak obliczyć długość przeciwprostokątnej! Możesz to wykorzystać w wielu sytuacjach, od obliczania wysokości drabiny po mierzenie boiska.
