Hej! Gotowi na powtórkę z wielokątów foremnych, okręgów wpisanych i opisanych? Super! Zaraz wszystko sobie przypomnimy i rozwiążemy kilka zadań. Będzie łatwo!
Wielokąty foremne – co to takiego?
Wielokąt foremny to taki, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Proste, prawda?
Przykłady wielokątów foremnych:
Trójkąt równoboczny (3 boki).
Kwadrat (4 boki).
Pięciokąt foremny (5 boków).
Sześciokąt foremny (6 boków).
I tak dalej! Im więcej boków, tym bardziej wielokąt foremny przypomina okrąg.
Kąty w wielokątach foremnych
Suma kątów wewnętrznych w wielokącie o n bokach wynosi (n-2) * 180 stopni.
Wielkość jednego kąta wewnętrznego w wielokącie foremnym o n bokach: ((n-2) * 180) / n.
Na przykład, w kwadracie: (4-2) * 180 / 4 = 90 stopni.
Okręgi opisane na wielokątach foremnych
Okrąg opisany na wielokącie foremnym przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki.
Środek okręgu opisanego jest też środkiem wielokąta foremnego.
Promień okręgu opisanego (oznaczany zazwyczaj jako R) to odległość od środka wielokąta do wierzchołka.
Promień okręgu opisanego dla wybranych wielokątów:
Trójkąt równoboczny: R = (a√3)/3, gdzie a to długość boku trójkąta.
Kwadrat: R = (a√2)/2, gdzie a to długość boku kwadratu.
Sześciokąt foremny: R = a, gdzie a to długość boku sześciokąta.
Okręgi wpisane w wielokąty foremne
Okrąg wpisany w wielokąt foremny jest styczny do każdego boku wielokąta.
Środek okręgu wpisanego jest również środkiem wielokąta foremnego.
Promień okręgu wpisanego (oznaczany zazwyczaj jako r) to odległość od środka wielokąta do środka boku (czyli długość odcinka prostopadłego do boku, przechodzącego przez środek).
Promień okręgu wpisanego dla wybranych wielokątów:
Trójkąt równoboczny: r = (a√3)/6, gdzie a to długość boku trójkąta.
Kwadrat: r = a/2, gdzie a to długość boku kwadratu.
Sześciokąt foremny: r = (a√3)/2, gdzie a to długość boku sześciokąta.
Zadania – pora na praktykę!
Zadanie 1: Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 6 cm.
Rozwiązanie: Używamy wzoru R = (a√3)/3. Wstawiamy a = 6 cm: R = (6√3)/3 = 2√3 cm.
Zadanie 2: Oblicz promień okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości 4 cm.
Rozwiązanie: Używamy wzoru r = a/2. Wstawiamy a = 4 cm: r = 4/2 = 2 cm.
Zadanie 3: Sześciokąt foremny ma bok długości 2 cm. Oblicz promień okręgu opisanego i wpisanego w ten sześciokąt.
Rozwiązanie: Okrąg opisany: R = a = 2 cm. Okrąg wpisany: r = (a√3)/2 = (2√3)/2 = √3 cm.
Zadanie 4: Jaki jest kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego?
Rozwiązanie: ((n-2) * 180) / n, n = 10. ((10-2)*180)/10 = (8*180)/10 = 144 stopnie.
Wskazówki do zadań:
Narysuj sobie rysunek. Zawsze!
Zapisz wzory, których potrzebujesz.
Sprawdź jednostki.
Upewnij się, że dobrze wstawiasz liczby do wzoru.
Uprość wynik, jeśli to możliwe.
Podsumowanie
Pamiętaj, że wielokąt foremny ma równe boki i równe kąty.
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki, a okrąg wpisany jest styczny do boków.
Wzory na promienie okręgów opisanych i wpisanych są różne dla różnych wielokątów, więc warto je zapamiętać lub umieć wyprowadzić.
Rysunek bardzo pomaga w rozwiązaniu zadania. Naprawdę!
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!