Which Of The Following Statements Are True Of The Discriminant

Hej! Zastanawiałeś się kiedyś nad dyskryminantą? To nie jest żadna obraźliwa uwaga, obiecuję! To super przydatne narzędzie w algebrze.

Czym jest równanie kwadratowe?

Zacznijmy od podstaw. Równanie kwadratowe to równanie postaci ax² + bx + c = 0. Ważne, żeby a nie było równe zero!

Pomyśl o tym jak o przepisie na ciasto. x to niewiadoma - składnik, którego szukamy. a, b i c to ilości pozostałych składników, które już znamy.

Przykłady:

• 2x² + 3x - 5 = 0
• x² - 4 = 0
• -x² + x = 0

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Żeby znaleźć te tajemnicze x, używamy wzoru. Trochę straszny, ale dasz radę!

Wzór to: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Widzisz ten dziwny znaczek pod pierwiastkiem? To on jest kluczem. To właśnie tam kryje się dyskryminanta!

Dyskryminanta – detektyw równań kwadratowych

Dyskryminanta to wyrażenie pod pierwiastkiem: b² - 4ac. Oznaczamy ją grecką literą Δ (delta).

Δ = b² - 4ac

Dyskryminanta mówi nam, ile rozwiązań (pierwiastków) ma równanie kwadratowe. Jest jak detektyw, który analizuje dowody i mówi, co się stało.

Co nam mówi dyskryminanta?

Dyskryminanta może przyjmować trzy rodzaje wartości: dodatnią, ujemną lub równą zero.

Δ > 0 (dyskryminanta dodatnia)

Gdy Δ jest większa od zera, równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Wyobraź sobie, że rysujesz parabolę (wykres równania kwadratowego). Parabola przecina oś X w dwóch miejscach. Te miejsca to rozwiązania równania.

Przykład: x² - 5x + 6 = 0. Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1. Δ > 0, więc są dwa rozwiązania.

Δ = 0 (dyskryminanta równa zero)

Gdy Δ jest równa zero, równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (mówimy też o dwóch identycznych rozwiązaniach).

Parabola dotyka osi X tylko w jednym miejscu. To miejsce to rozwiązanie równania.

Przykład: x² - 4x + 4 = 0. Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0. Δ = 0, więc jest jedno rozwiązanie.

Δ < 0 (dyskryminanta ujemna)

Gdy Δ jest mniejsza od zera, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Ma dwa rozwiązania zespolone.

Parabola nie przecina osi X w ogóle. Rozwiązania istnieją, ale w świecie liczb zespolonych (nie martw się nimi na razie!).

Przykład: x² + 2x + 5 = 0. Δ = (2)² - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16. Δ < 0, więc nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Podsumowanie

Dyskryminanta (Δ = b² - 4ac) pozwala ustalić:

• Δ > 0: Dwa różne rozwiązania rzeczywiste.
• Δ = 0: Jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa identyczne).
• Δ < 0: Brak rozwiązań rzeczywistych (dwa rozwiązania zespolone).

Przykłady z życia wzięte?

Może się wydawać, że to abstrakcja, ale równania kwadratowe i dyskryminanta mają zastosowanie w wielu dziedzinach.

Fizyka: Obliczanie toru lotu pocisku, rzutu piłki, spadającego obiektu. Równanie kwadratowe opisuje zależność wysokości od czasu.

Inżynieria: Projektowanie mostów, budynków, anten parabolicznych. Równania kwadratowe pomagają w optymalizacji kształtów i wymiarów.

Ekonomia: Modelowanie zysków i strat w biznesie, analiza popytu i podaży. Równania kwadratowe mogą opisywać krzywe kosztów.

Przykładowe zadania

Sprawdź, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe dla dyskryminanty:

1. Jeśli dyskryminanta jest dodatnia, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
2. Jeśli dyskryminanta jest równa zero, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.
3. Jeśli dyskryminanta jest ujemna, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

Odpowiedź:

1. Prawda
2. Fałsz (ma jedno rozwiązanie)
3. Fałsz (nie ma rozwiązań rzeczywistych)

Kilka dodatkowych wskazówek

• Pamiętaj o kolejności wykonywania działań (najpierw potęgowanie, potem mnożenie, na końcu dodawanie i odejmowanie).
• Uważaj na znaki! Minus przed nawiasem wszystko zmienia.
• Ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz dyskryminantę.

Powodzenia z dyskryminantą! To naprawdę nie jest takie straszne, jak wygląda.