Witaj! Przygotujmy się razem do egzaminu z geometrii analitycznej. Skupimy się na zagadnieniu punktów w układzie współrzędnych.
Punkt w Układzie Współrzędnych
Zacznijmy od podstaw. Układ współrzędnych to system, który pozwala nam określić położenie każdego punktu na płaszczyźnie za pomocą dwóch liczb.
Te liczby nazywamy współrzędnymi. Najczęściej używamy układu kartezjańskiego, gdzie mamy dwie osie: poziomą (oś x, czyli oś odciętych) i pionową (oś y, czyli oś rzędnych).
Punkt oznaczamy zazwyczaj dużą literą, na przykład A. Współrzędne punktu zapisujemy w nawiasie, np. A(x, y), gdzie x to współrzędna odciętej, a y to współrzędna rzędnej.
W zadaniu mamy punkt A(4, 3). To oznacza, że odcięta punktu A wynosi 4, a rzędna wynosi 3. Łatwe, prawda?
Zaznaczanie Punktu w Układzie Współrzędnych
Żeby zaznaczyć punkt A(4, 3) na układzie współrzędnych, musimy znaleźć punkt, w którym x = 4 i y = 3.
Zaczynamy od osi x. Szukamy punktu 4. Następnie, z tego punktu, prowadzimy linię pionową w górę.
Teraz szukamy punktu 3 na osi y. Prowadzimy linię poziomą w prawo.
Punkt przecięcia tych dwóch linii to właśnie nasz punkt A(4, 3)! Zaznaczamy go kropką i gotowe.
Odległość Punktu od Osia
Warto też wiedzieć, jak określić odległość punktu od osi układu współrzędnych.
Odległość punktu od osi x to wartość bezwzględna jego współrzędnej y. W naszym przypadku, odległość punktu A(4, 3) od osi x wynosi |3| = 3.
Odległość punktu od osi y to wartość bezwzględna jego współrzędnej x. W naszym przypadku, odległość punktu A(4, 3) od osi y wynosi |4| = 4.
Działania na Punktach
Możemy wykonywać różne operacje na punktach w układzie współrzędnych.
Przesuwanie punktu. Jeśli chcemy przesunąć punkt o wektor [a, b], to dodajemy a do współrzędnej x, a b do współrzędnej y.
Na przykład, jeśli przesuniemy punkt A(4, 3) o wektor [2, -1], otrzymamy nowy punkt A'(4+2, 3-1) = A'(6, 2).
Symetria względem osi. Symetria względem osi x zmienia znak współrzędnej y. Punkt A(4, 3) po symetrii względem osi x będzie miał współrzędne A'(4, -3).
Symetria względem osi y zmienia znak współrzędnej x. Punkt A(4, 3) po symetrii względem osi y będzie miał współrzędne A'(-4, 3).
Symetria względem początku układu. Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych. Punkt A(4, 3) po symetrii względem początku układu będzie miał współrzędne A'(-4, -3).
Przykładowe Zadanie
Rozwiążmy teraz przykładowe zadanie. Znajdź punkt symetryczny do punktu B(-2, 5) względem osi x, a następnie oblicz odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.
Punkt symetryczny do B(-2, 5) względem osi x to B'(-2, -5).
Teraz obliczmy odległość punktu B'(-2, -5) od początku układu współrzędnych (0, 0). Użyjemy wzoru na odległość między dwoma punktami:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d = √((-2 - 0)² + (-5 - 0)²) = √((-2)² + (-5)²) = √(4 + 25) = √29
Odległość punktu B' od początku układu współrzędnych wynosi √29.
Kluczowe Pojęcia do Zapamiętania
Aby dobrze przygotować się do egzaminu, zapamiętaj następujące pojęcia:
- Układ współrzędnych
- Współrzędne punktu (odcięta i rzędna)
- Oś x (oś odciętych)
- Oś y (oś rzędnych)
- Odległość punktu od osi
- Przesuwanie punktu
- Symetria względem osi
- Symetria względem początku układu
- Wzór na odległość między dwoma punktami
Podsumowanie
Omówiliśmy podstawowe zagadnienia związane z punktami w układzie współrzędnych. Nauczyliśmy się, jak zaznaczać punkty, obliczać odległości od osi, wykonywać operacje symetrii i przesuwania.
Pamiętaj! Ćwiczenie czyni mistrza. Rozwiązuj zadania i utrwalaj zdobytą wiedzę.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
