Zacznijmy. Spójrzmy na trójkąt równoramienny.
Wyobraź sobie piramidę z dwoma równymi ścianami.
Dwa ramiona są tej samej długości.
Dwa kąty przy podstawie są równe.
Nazywamy je kątami bazowymi.
Wysokość na ramię
Teraz wyobraźmy sobie wysokość.
To prosta linia.
Wychodzi z wierzchołka i pada prostopadle na bok.
Tworzy kąt prosty (90 stopni).
W trójkącie równoramiennym, wysokość z wierzchołka między ramionami jest szczególna. Dzieli trójkąt na dwa identyczne, prostokątne trójkąty.
Ale my zajmiemy się wysokością poprowadzoną do jednego z ramion.
Gdzie pada ta wysokość?
Zastanów się, czy wysokość zawsze pada na wewnętrzną część ramienia.
Nie zawsze!
To zależy od kątów trójkąta.
Wyobraź sobie bardzo "spiczasty" trójkąt równoramienny.
Kąt między ramionami jest bardzo duży (blisko 180 stopni).
Wtedy wysokość poprowadzona na ramię pada poza trójkąt.
Musimy przedłużyć ramię, żeby wysokość mogła na nie spaść prostopadle.
Pomyśl o latarni morskiej.
Światło latarni jest wysokością.
Czasami światło pada na brzeg.
A czasami, żeby oświetlić statek, musi padać dalej, poza brzeg.
Jak to wygląda?
Wyobraź sobie trójkąt ABC, gdzie AB = AC (ramiona).
Chcemy narysować wysokość z wierzchołka B na ramię AC.
Oznaczmy punkt, w którym wysokość pada na AC (lub jego przedłużenie) jako D.
Teraz mamy trójkąt BDC, który jest prostokątny (kąt BDC ma 90 stopni).
Zauważ, że ten trójkąt (BDC) znajduje się "obok" oryginalnego trójkąta (ABC).
Jeśli kąt BAC (między ramionami) jest ostry, punkt D leży na ramieniu AC.
Jeśli kąt BAC jest rozwarty, punkt D leży na przedłużeniu ramienia AC.
Co nam to daje?
Poprowadzenie wysokości na ramię tworzy nowe trójkąty.
Te trójkąty mogą być prostokątne.
Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa.
A² + B² = C² , gdzie C to przeciwprostokątna.
Możemy użyć funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens).
Pomyśl o rusztowaniu budowlanym.
Wysokości na ramię tworzą "podpory".
Pomagają nam obliczyć długości boków i kąty.
Przykładowe zadanie
Mamy trójkąt równoramienny ABC, gdzie AB = AC = 10 cm.
Kąt BAC ma 120 stopni.
Oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka B na ramię AC.
Rozwiązanie:
Wysokość BD pada poza trójkąt, na przedłużenie AC.
Kąt ABC = Kąt ACB = (180 - 120)/2 = 30 stopni.
W trójkącie BDC, kąt BCD = 180 - 30 = 150 stopni (to kąt zewnętrzny trójkąta ABC).
Kąt DBC = 180 - 90 - (180 - 30) = -60 - to jest błąd! Musimy inaczej.
Kąt DBC = 90 - (180-120) = 90 - 60 = 30 stopni ( w trójkącie ABD, kąt DAB= 180-120=60stopni. Czyli kąt ABD= 30 stopni).
sin(30 stopni) = DC/BC
1/2 = DC/10
DC = 5 cm.
AC = 10 cm (dane).
AD = AC + DC = 10 + 5 = 15 cm. Teraz używamy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABD.
BD² + AD² = AB²
BD² = 10² - 15²
BD² = 100 - 225
BD² = -125. Coś jest nie tak w naszym rozumowaniu.
Poprawnie: sin(30) = BD / BC czyli BD / 10. Stąd BD = 5.
Kluczowe wnioski:
- Wysokość na ramię nie zawsze spada wewnątrz trójkąta.
- Tworzy trójkąty prostokątne, które możemy analizować.
- Pomaga obliczać długości boków i kąty.
Ćwicz. Rysuj. Eksperymentuj.
Zrozumiesz!
