Wyobraź sobie trójkąt prostokątny. Jeden z jego kątów jest prosty, czyli ma 90 stopni.
A teraz, wyobraź sobie, że jeden z pozostałych kątów ma 30 stopni. To o nim dzisiaj porozmawiamy.
Taki trójkąt, z kątem 30 stopni, ma bardzo ciekawe właściwości. Są one niezwykle przydatne w matematyce.
Charakterystyczne cechy trójkąta 30-60-90
Nasz trójkąt, to tak naprawdę trójkąt 30-60-90. Skąd ta nazwa?
Już tłumaczymy! Jeden kąt ma 90 stopni (kąt prosty). Drugi kąt ma 30 stopni (dany w zadaniu).
Ile ma trzeci kąt? Pamiętaj, że suma kątów w trójkącie to zawsze 180 stopni.
180 - 90 - 30 = 60. Zgadza się! Nasz trójkąt ma kąty 30, 60 i 90 stopni.
Stosunek długości boków
Najważniejszą rzeczą w trójkącie 30-60-90 jest stosunek długości jego boków. Jest on zawsze taki sam!
Wyobraź sobie najkrótszy bok. Ten, który leży naprzeciwko kąta 30 stopni. Oznaczmy jego długość jako a.
Teraz popatrz na przeciwprostokątną. To najdłuższy bok, leżący naprzeciwko kąta prostego.
W trójkącie 30-60-90 przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od najkrótszego boku! Czyli ma długość 2a.
To bardzo ważne! Zawsze, gdy widzisz trójkąt 30-60-90, wiesz, że przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od boku naprzeciwko kąta 30 stopni.
A co z trzecim bokiem? Tym, który leży naprzeciwko kąta 60 stopni? On ma długość a√3.
Czyli, podsumowując:
- Najkrótszy bok (naprzeciwko kąta 30 stopni): a
- Przeciwprostokątna: 2a
- Bok naprzeciwko kąta 60 stopni: a√3
Zapamiętaj ten stosunek! To klucz do rozwiązywania wielu zadań.
Przykłady z życia
Gdzie możemy spotkać trójkąty 30-60-90 w prawdziwym życiu? Okazuje się, że całkiem często!
Wyobraź sobie, że masz kawałek ciasta w kształcie kwadratu. Przekrawasz go po przekątnej.
Powstały dwa trójkąty prostokątne. Ale to nie są trójkąty 30-60-90. Te mają kąty 45-45-90.
Ale wyobraź sobie inny przykład. Masz maszt. Lina podtrzymująca maszt tworzy z ziemią kąt 60 stopni.
Maszt jest prostopadły do ziemi. Czyli mamy kąt prosty. No i mamy trójkąt 30-60-90!
Dzięki znajomości właściwości trójkąta 30-60-90 możemy obliczyć długość liny, znając wysokość masztu. Albo odwrotnie!
Kolejny przykład? Konstrukcja dachu! Często dachy mają kąty nachylenia, które tworzą trójkąty 30-60-90.
Architekci wykorzystują te właściwości do projektowania konstrukcji.
Jak rozwiązywać zadania?
Załóżmy, że masz trójkąt 30-60-90. Wiesz, że najkrótszy bok (naprzeciwko kąta 30 stopni) ma długość 5 cm.
Ile wynosi długość przeciwprostokątnej? Pamiętasz? Jest dwa razy dłuższa od najkrótszego boku!
Czyli przeciwprostokątna ma długość 2 * 5 cm = 10 cm.
A ile wynosi długość boku naprzeciwko kąta 60 stopni? To a√3. W naszym przypadku a = 5 cm.
Czyli ten bok ma długość 5√3 cm.
Spróbujmy trudniejszego zadania. Masz trójkąt 30-60-90. Przeciwprostokątna ma długość 12 cm.
Ile wynosi długość najkrótszego boku? Wiemy, że przeciwprostokątna to 2a. Czyli 2a = 12 cm.
Aby obliczyć a, dzielimy obie strony równania przez 2. a = 12 cm / 2 = 6 cm.
Najkrótszy bok ma długość 6 cm.
A ile wynosi długość boku naprzeciwko kąta 60 stopni? To a√3. W naszym przypadku a = 6 cm.
Czyli ten bok ma długość 6√3 cm.
Podsumowanie
Trójkąt prostokątny z kątem ostrym 30 stopni (czyli trójkąt 30-60-90) ma bardzo specyficzne właściwości.
Zapamiętaj stosunek długości boków: a, 2a, a√3. Pomoże Ci to rozwiązywać zadania i lepiej rozumieć geometrię.
Pamiętaj też, że matematyka jest wszędzie! Szukaj trójkątów 30-60-90 w otaczającym Cię świecie.
Ćwicz rozwiązywanie zadań. Im więcej ćwiczysz, tym lepiej zrozumiesz te zależności. Powodzenia!
