Witajcie! Przygotowujemy się do egzaminu z geometrii? Świetnie! Dziś skupimy się na trójkątach wpisanych i opisanych na okręgu. To ważny temat, więc zaczynajmy!
Trójkąt Wpisany w Okrąg
Zacznijmy od podstaw. Co to znaczy, że trójkąt jest wpisany w okrąg?
To proste! Oznacza to, że wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu.
A co to oznacza dla nas?
Kąty Wpisane
Jedna z najważniejszych rzeczy, które musimy pamiętać, to twierdzenie o kątach wpisanych.
Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Czyli, jeśli mamy kąt wpisany, powiedzmy *α*, oparty na jakimś łuku, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku będzie wynosił *2α*.
Zapamiętajcie to dobrze! To często pojawia się w zadaniach.
Kąt Wpisany Oparty na Średnicy
Szczególnym przypadkiem jest kąt wpisany oparty na średnicy okręgu.
Taki kąt jest zawsze prosty (ma 90 stopni). To bardzo przydatne!
Widząc trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden bok jest średnicą, od razu wiemy, że jest to trójkąt prostokątny.
Twierdzenie o Kącie Między Styczną a Cięciwą
Kolejne ważne twierdzenie dotyczy kąta między styczną a cięciwą.
Mówi ono, że kąt między styczną do okręgu w danym punkcie, a cięciwą wychodzącą z tego punktu, jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.
To może brzmieć skomplikowanie, ale postarajcie się to zwizualizować. Rysunek bardzo pomaga!
Trójkąt Opisany na Okręgu
Teraz zajmiemy się trójkątami opisanymi na okręgu.
Mówimy, że trójkąt jest opisany na okręgu, jeśli okrąg jest styczny do wszystkich boków trójkąta.
Czyli okrąg leży wewnątrz trójkąta i dotyka każdego z jego boków w dokładnie jednym punkcie.
Środek Okręgu Wpisanego
Gdzie leży środek okręgu wpisanego w trójkąt?
Leży on w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.
Dwusieczna kąta to prosta, która dzieli kąt na dwie równe części.
Zapamiętajcie: środek okręgu wpisanego = punkt przecięcia dwusiecznych.
Promień Okręgu Wpisanego
Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt?
Mamy na to wzór! Oznaczmy promień przez *r*, pole trójkąta przez *P*, a połowę obwodu trójkąta przez *p* (czyli *p = (a+b+c)/2*).
Wtedy: r = P/p
Ten wzór jest bardzo użyteczny, więc warto go znać.
Okrąg Wpisany w Trójkąt Prostokątny
Dla trójkąta prostokątnego mamy jeszcze jeden wzór na promień okręgu wpisanego.
Jeśli *a* i *b* to długości przyprostokątnych, a *c* to długość przeciwprostokątnej, to:
r = (a + b - c) / 2
Ten wzór może uprościć obliczenia w przypadku trójkątów prostokątnych.
Zadania Kombinowane
Często w zadaniach mamy do czynienia z sytuacją, gdzie trójkąt jest jednocześnie wpisany i opisany na okręgu (lub odwrotnie).
W takich przypadkach trzeba połączyć wiedzę o obu typach trójkątów.
Zwracajcie uwagę na to, co jest dane w zadaniu i jakie informacje można z tego wywnioskować.
Na przykład, jeśli wiemy, że trójkąt jest wpisany w okrąg i znamy miary niektórych kątów, możemy obliczyć miary innych kątów (korzystając z twierdzenia o kątach wpisanych).
A jeśli wiemy, że trójkąt jest opisany na okręgu, możemy wykorzystać wzory na promień okręgu wpisanego.
Przykładowe Zadania
Rozwiążmy kilka przykładowych zadań. Pamiętajcie, że kluczem jest zrozumienie treści zadania i wykorzystanie odpowiednich twierdzeń i wzorów.
Zadanie 1: Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg. Kąt ABC ma miarę 70 stopni, a kąt BAC ma miarę 50 stopni. Oblicz miarę kąta ACB.
Rozwiązanie: Suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. Zatem kąt ACB = 180 - 70 - 50 = 60 stopni.
Zadanie 2: Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 i 8. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie: Najpierw obliczamy długość przeciwprostokątnej: c = √(6² + 8²) = 10. Następnie korzystamy ze wzoru r = (a + b - c) / 2 = (6 + 8 - 10) / 2 = 2.
Podsumowanie
To był intensywny przegląd trójkątów wpisanych i opisanych na okręgu!
Pamiętajcie o najważniejszych rzeczach:
- Trójkąt wpisany: wszystkie wierzchołki leżą na okręgu.
- Kąt wpisany: równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
- Kąt wpisany oparty na średnicy: jest prosty.
- Trójkąt opisany: okrąg jest styczny do wszystkich boków trójkąta.
- Środek okręgu wpisanego: punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych.
- Wzór na promień okręgu wpisanego: r = P/p.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Was! Ćwiczcie zadania, a wszystko pójdzie dobrze.
Pamiętajcie, żeby dokładnie czytać treść zadania i rysować rysunki pomocnicze. To bardzo ułatwia zrozumienie problemu.
