Witajcie! Przygotowujemy się do egzaminu z geometrii? Super! Skupimy się na trójkącie równobocznym i wzorze na jego wysokość.
Czym jest trójkąt równoboczny?
To trójkąt, który ma wszystkie boki równe. Zapamiętaj to!
Oznacza to, że wszystkie kąty wewnętrzne też są równe. Każdy ma 60 stopni.
Własności trójkąta równobocznego
Poza równymi bokami i kątami, ma on także trzy osie symetrii.
Środek okręgu wpisanego i opisanego pokrywają się.
Wysokość w trójkącie równobocznym
Wysokość to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i jest do niego prostopadły.
W trójkącie równobocznym, wysokość dzieli podstawę na dwie równe części.
Wzór na wysokość
Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego jako a. Wtedy wzór na wysokość h wygląda tak:
h = (a√3) / 2
Zapamiętaj ten wzór! Jest bardzo ważny.
Skąd się bierze ten wzór?
Możemy go wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa.
Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne.
Przyjrzyjmy się jednemu z tych trójkątów. Jego boki to: a (przeciwprostokątna), a/2 (jedna przyprostokątna) i h (druga przyprostokątna).
Z twierdzenia Pitagorasa: (a/2)² + h² = a²
Przekształcamy równanie: h² = a² - (a²/4)
Upraszczamy: h² = (3a²) / 4
Wyciągamy pierwiastek: h = √(3a²) / √(4) = (a√3) / 2
I voila! Mamy wzór na wysokość.
Przykłady zastosowania wzoru
Przykład 1: Mamy trójkąt równoboczny o boku a = 4. Oblicz wysokość.
Podstawiamy do wzoru: h = (4√3) / 2 = 2√3
Odpowiedź: Wysokość wynosi 2√3.
Przykład 2: Wysokość trójkąta równobocznego wynosi h = 3√3. Oblicz długość boku.
Podstawiamy do wzoru: 3√3 = (a√3) / 2
Mnożymy obie strony przez 2: 6√3 = a√3
Dzielimy obie strony przez √3: a = 6
Odpowiedź: Długość boku wynosi 6.
Pole trójkąta równobocznego
Wzór na pole trójkąta to: P = (a²√3) / 4
Możemy go wyprowadzić ze wzoru na pole trójkąta: P = (1/2) * a * h
Podstawiamy wzór na wysokość: P = (1/2) * a * (a√3) / 2 = (a²√3) / 4
Podsumowanie
Pamiętaj o najważniejszych rzeczach:
- Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki i kąty równe.
- Każdy kąt wewnętrzny ma 60 stopni.
- Wzór na wysokość: h = (a√3) / 2
- Wzór na pole: P = (a²√3) / 4
Przećwicz kilka przykładów, a wzory staną się dla Ciebie intuicyjne.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
