Witajcie, przyszli matematycy!
Przygotowujemy się do ważnego zagadnienia: Suma dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną. To kluczowa własność w świecie liczb. Razem przejdziemy przez wszystko krok po kroku. Zobaczycie, to wcale nie jest trudne!
Czym są liczby wymierne?
Zacznijmy od podstaw. Co to właściwie są liczby wymierne?
Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać jako ułamek. Ułamek, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Pamiętajmy, że mianownik nie może być zerem!
Na przykład, 1/2, 3/4, -5/7, a nawet 5 (bo to to samo co 5/1) są liczbami wymiernymi.
Czy liczba π (pi) jest liczbą wymierną? Nie! Nie da się jej zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych. Dlatego jest to liczba niewymierna.
Ułamki i liczby całkowite
Wszystkie liczby całkowite są również liczbami wymiernymi. Dlaczego?
Dlatego, że każdą liczbę całkowitą możemy zapisać jako ułamek z mianownikiem równym 1. Na przykład: 7 = 7/1, -3 = -3/1.
Dodawanie liczb wymiernych
Skoro wiemy już, czym są liczby wymierne, przejdźmy do dodawania.
Jak dodajemy ułamki? Potrzebujemy wspólnego mianownika!
Jeśli mamy dwa ułamki z tym samym mianownikiem, to po prostu dodajemy liczniki, a mianownik zostaje bez zmian.
Na przykład: 1/5 + 2/5 = (1+2)/5 = 3/5.
Wspólny mianownik
Co zrobić, gdy ułamki mają różne mianowniki?
Musimy znaleźć wspólny mianownik. Najczęściej szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) mianowników.
Na przykład, dodajmy 1/2 i 1/3. NWW liczb 2 i 3 to 6.
Zatem, 1/2 = 3/6 i 1/3 = 2/6. Teraz możemy dodać: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Dowód, że suma dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną
Teraz najważniejsze! Musimy pokazać, że suma dwóch dowolnych liczb wymiernych zawsze da nam liczbę wymierną.
Niech a/b i c/d będą dwiema liczbami wymiernymi. Oznacza to, że a, b, c i d są liczbami całkowitymi i b ≠ 0 oraz d ≠ 0.
Suma tych dwóch liczb to: a/b + c/d.
Jak to dodać? Znajdujemy wspólny mianownik, czyli b*d.
Zatem: a/b + c/d = (a*d)/(b*d) + (c*b)/(b*d) = (a*d + c*b)/(b*d).
Spójrzmy na to uważnie. a, b, c i d to liczby całkowite. Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą. Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.
Czyli (a*d + c*b) jest liczbą całkowitą. Podobnie, (b*d) jest liczbą całkowitą i jest różne od zera, bo b i d są różne od zera.
Wniosek? (a*d + c*b)/(b*d) jest ułamkiem, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. A to oznacza, że suma a/b + c/d jest liczbą wymierną!
Udowodniliśmy, że suma dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Przykłady
Sprawdźmy to na kilku przykładach:
Przykład 1: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. 11/12 jest liczbą wymierną.
Przykład 2: -1/2 + 3/5 = -5/10 + 6/10 = 1/10. 1/10 jest liczbą wymierną.
Przykład 3: 5 + 2/7 = 35/7 + 2/7 = 37/7. 37/7 jest liczbą wymierną.
Podsumowanie
Podsumujmy, czego się nauczyliśmy:
- Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b ≠ 0.
- Wszystkie liczby całkowite są liczbami wymiernymi.
- Aby dodać ułamki, potrzebujemy wspólnego mianownika.
- Suma dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną. Pokazaliśmy to za pomocą dowodu.
Mam nadzieję, że teraz wszystko jest jasne. Powodzenia na egzaminie! Pamiętajcie, matematyka jest piękna!
