Hej piątoklasiści! Czeka Was sprawdzian z matematyki z działu Własności Liczb Naturalnych? Bez obaw, rozłożymy to na czynniki pierwsze!
Czym są Liczby Naturalne?
Zacznijmy od podstaw. Liczby naturalne to liczby, którymi liczymy przedmioty. Są to: 1, 2, 3, 4, 5, i tak dalej, aż do nieskończoności.
Czy zero (0) jest liczbą naturalną? To zależy od definicji! W szkole podstawowej zazwyczaj przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Jednak na wyższych poziomach edukacji często się ją do liczb naturalnych zalicza. Na sprawdzianie zapytaj nauczyciela, jak to u Was obowiązuje.
Przykład: Masz 3 jabłka. Liczba jabłek (3) jest liczbą naturalną.
Dzielniki i Wielokrotności
Dzielnik liczby to liczba, przez którą dzieli się ona bez reszty.
Przykład: Dzielnikami liczby 6 są: 1, 2, 3 i 6. Bo 6:1=6, 6:2=3, 6:3=2, 6:6=1. We wszystkich przypadkach nie ma reszty.
Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez inną liczbę naturalną.
Przykład: Wielokrotności liczby 3 to: 3, 6, 9, 12, 15, i tak dalej. Bo 3x1=3, 3x2=6, 3x3=9, 3x4=12, 3x5=15, i tak dalej.
Zauważ, że każda liczba ma nieskończenie wiele wielokrotności, ale skończoną liczbę dzielników.
Liczby Pierwsze i Złożone
Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Przykład: Liczby pierwsze to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, i tak dalej.
Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
Przykład: Liczby złożone to: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, i tak dalej.
Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Jest jedynką.
Rozkład Liczby na Czynniki Pierwsze
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych. To znaczy, że możemy ją zapisać jako wynik mnożenia kilku liczb pierwszych.
Przykład: Rozkład liczby 12 na czynniki pierwsze:
12 = 2 x 2 x 3
Możemy to zapisać jako 12 = 22 x 3
Jak to zrobić? Dzielimy liczbę przez najmniejszą liczbę pierwszą, która jest jej dzielnikiem. Potem dzielimy wynik przez najmniejszą liczbę pierwszą, która jest jego dzielnikiem. I tak dalej, aż otrzymamy 1.
Przykład: Rozkład liczby 30 na czynniki pierwsze:
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
5 : 5 = 1
Czyli 30 = 2 x 3 x 5
Cechy Podzielności
Cechy podzielności to reguły, które pozwalają szybko sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez inną bez konieczności wykonywania dzielenia.
Podzielność przez 2
Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8 (czyli jest parzysta).
Przykład: 124 jest podzielne przez 2, bo kończy się na 4.
Przykład: 345 nie jest podzielne przez 2, bo kończy się na 5.
Podzielność przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Przykład: 123 jest podzielne przez 3, bo 1 + 2 + 3 = 6, a 6 jest podzielne przez 3.
Przykład: 457 nie jest podzielne przez 3, bo 4 + 5 + 7 = 16, a 16 nie jest podzielne przez 3.
Podzielność przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, lub jeśli dwie ostatnie cyfry to 00.
Przykład: 124 jest podzielne przez 4, bo 24 jest podzielne przez 4.
Przykład: 300 jest podzielne przez 4, bo dwie ostatnie cyfry to 00.
Przykład: 514 nie jest podzielne przez 4, bo 14 nie jest podzielne przez 4.
Podzielność przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
Przykład: 120 jest podzielne przez 5, bo kończy się na 0.
Przykład: 345 jest podzielne przez 5, bo kończy się na 5.
Przykład: 457 nie jest podzielne przez 5, bo kończy się na 7.
Podzielność przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: 189 jest podzielne przez 9, bo 1 + 8 + 9 = 18, a 18 jest podzielne przez 9.
Przykład: 235 nie jest podzielne przez 9, bo 2 + 3 + 5 = 10, a 10 nie jest podzielne przez 9.
Podzielność przez 10
Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.
Przykład: 120 jest podzielne przez 10, bo kończy się na 0.
Przykład: 345 nie jest podzielne przez 10, bo kończy się na 5.
Największy Wspólny Dzielnik (NWD)
Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch lub więcej liczb to największa liczba, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.
Przykład: NWD(12, 18) = 6. Dzielnikami liczby 12 są: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Dzielnikami liczby 18 są: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Największym wspólnym dzielnikiem jest 6.
Jak obliczyć NWD? Można wypisać wszystkie dzielniki każdej liczby i znaleźć największy wspólny. Ale prościej jest rozłożyć liczby na czynniki pierwsze i wybrać wspólne czynniki z najmniejszymi potęgami.
Przykład: Oblicz NWD(24, 36)
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Wspólne czynniki to 2 i 3. Najmniejsza potęga 2 to 22, a najmniejsza potęga 3 to 31.
NWD(24, 36) = 22 x 3 = 4 x 3 = 12
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW)
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) dwóch lub więcej liczb to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością każdej z tych liczb.
Przykład: NWW(4, 6) = 12. Wielokrotności liczby 4 to: 4, 8, 12, 16, 20, 24... Wielokrotności liczby 6 to: 6, 12, 18, 24, 30... Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 12.
Jak obliczyć NWW? Można wypisywać wielokrotności każdej liczby, aż znajdziemy wspólną. Ale prościej jest rozłożyć liczby na czynniki pierwsze i wybrać wszystkie czynniki z największymi potęgami.
Przykład: Oblicz NWW(24, 36)
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Wszystkie czynniki to 2 i 3. Największa potęga 2 to 23, a największa potęga 3 to 32.
NWW(24, 36) = 23 x 32 = 8 x 9 = 72
Pamiętaj o regularnym powtarzaniu materiału i rozwiązywaniu zadań. Powodzenia na sprawdzianie!
