Witajcie! Dziś nauczymy się o skracaniu i rozszerzaniu ułamków. To bardzo przydatne umiejętności w matematyce. Pomogą nam lepiej rozumieć i operować na ułamkach.
Czym są ułamki?
Ułamek to liczba, która przedstawia część całości. Składa się z dwóch części: licznika i mianownika. Licznik znajduje się na górze. Mianownik znajduje się na dole. Między nimi jest kreska ułamkowa.
Na przykład, w ułamku 1/2, 1 to licznik, a 2 to mianownik. Oznacza to, że mamy jedną część z dwóch równych części. Innymi słowy, połowę.
Mianownik mówi nam, na ile równych części podzieliliśmy całość. Licznik mówi nam, ile tych części bierzemy. Pamiętajmy, że mianownik nie może być zerem!
Skracanie ułamków
Skracanie ułamka to zmniejszanie zarówno licznika, jak i mianownika. Musimy podzielić je przez tę samą liczbę. Ta liczba musi być dzielnikiem zarówno licznika, jak i mianownika. Dzielimy, aby otrzymać mniejsze liczby, ale ułamek nadal reprezentuje tę samą wartość.
Spróbujmy skrócić ułamek 4/8. Zarówno 4, jak i 8 dzielą się przez 2. Podzielmy licznik i mianownik przez 2. Otrzymamy 2/4. Możemy skrócić go jeszcze raz. Znów dzielimy licznik i mianownik przez 2. Otrzymamy 1/2.
Ułamek 1/2 to postać nieskracalna ułamka 4/8. Oznacza to, że nie możemy już bardziej zmniejszyć licznika i mianownika, dzieląc je przez tę samą liczbę całkowitą inną niż 1.
Znajdowanie największego wspólnego dzielnika (NWD)
Najszybszym sposobem na skrócenie ułamka jest podzielenie licznika i mianownika przez ich Największy Wspólny Dzielnik (NWD). NWD to największa liczba, przez którą dzielą się obie liczby. Spróbujmy skrócić ułamek 12/18. Dzielniki liczby 12 to 1, 2, 3, 4, 6, i 12. Dzielniki liczby 18 to 1, 2, 3, 6, 9, i 18. Największym wspólnym dzielnikiem jest 6. Dzielimy licznik i mianownik przez 6. Otrzymamy 2/3. Ułamek 2/3 jest już nieskracalny.
Rozszerzanie ułamków
Rozszerzanie ułamka to powiększanie zarówno licznika, jak i mianownika. Musimy pomnożyć je przez tę samą liczbę. Mnożymy, aby otrzymać większe liczby, ale ułamek nadal reprezentuje tę samą wartość. Jest to odwrotność skracania.
Spróbujmy rozszerzyć ułamek 1/3. Pomnóżmy licznik i mianownik przez 2. Otrzymamy 2/6. Ułamek 2/6 jest równoważny ułamkowi 1/3. Możemy rozszerzyć go jeszcze raz. Pomnóżmy licznik i mianownik przez 3. Otrzymamy 3/9. Ułamek 3/9 również jest równoważny ułamkowi 1/3.
Rozszerzanie ułamków jest przydatne, gdy chcemy porównać ułamki o różnych mianownikach. Możemy rozszerzyć ułamki tak, aby miały ten sam mianownik. Wtedy łatwo możemy porównać ich liczniki.
Wspólny mianownik
Żeby dodać lub odjąć ułamki, muszą one mieć wspólny mianownik. Jeśli ułamki mają różne mianowniki, musimy je najpierw rozszerzyć. Musimy znaleźć taki mianownik, który jest podzielny przez wszystkie mianowniki. Możemy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników.
Chcemy dodać 1/2 + 1/3. Mianowniki to 2 i 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność 2 i 3 to 6. Musimy rozszerzyć oba ułamki, aby miały mianownik 6. Rozszerzamy ułamek 1/2 mnożąc licznik i mianownik przez 3. Otrzymamy 3/6. Rozszerzamy ułamek 1/3 mnożąc licznik i mianownik przez 2. Otrzymamy 2/6. Teraz możemy dodać ułamki: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Przykłady
Przykład 1: Skróć ułamek 20/30. Zarówno 20, jak i 30 dzielą się przez 10. Dzielimy licznik i mianownik przez 10. Otrzymamy 2/3. Ułamek 2/3 jest nieskracalny.
Przykład 2: Rozszerz ułamek 3/4 do mianownika 12. Musimy pomnożyć mianownik 4 przez 3, aby otrzymać 12. Musimy także pomnożyć licznik 3 przez 3. Otrzymamy 9/12.
Przykład 3: Porównaj ułamki 2/5 i 3/7. Aby je porównać, musimy znaleźć wspólny mianownik. Wspólnym mianownikiem dla 5 i 7 jest 35. Rozszerzamy ułamek 2/5 mnożąc licznik i mianownik przez 7. Otrzymamy 14/35. Rozszerzamy ułamek 3/7 mnożąc licznik i mianownik przez 5. Otrzymamy 15/35. Teraz możemy porównać ułamki: 14/35 < 15/35, więc 2/5 < 3/7.
Podsumowanie
Skracanie ułamków to dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Rozszerzanie ułamków to mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Obie te operacje nie zmieniają wartości ułamka. Skracanie i rozszerzanie są bardzo ważne, gdy chcemy porównywać, dodawać lub odejmować ułamki.
Pamiętajcie, ćwiczenie czyni mistrza! Im więcej ćwiczycie skracanie i rozszerzanie ułamków, tym łatwiej wam to przyjdzie. Powodzenia!
