Witaj! Przygotowujesz się do egzaminu z trygonometrii? Świetnie! Dziś zajmiemy się rozwiązywaniem trójkąta, mając dane boki i kąt. Brzmi skomplikowanie? Spokojnie, krok po kroku wszystko wyjaśnimy.
Kiedy Możemy Rozwiązać Trójkąt?
Rozwiązanie trójkąta oznacza wyznaczenie długości wszystkich boków oraz miar wszystkich kątów. Musimy mieć wystarczającą ilość danych.
Mamy kilka możliwości, kiedy możemy rozwiązać trójkąt, znając boki i kąt. Najczęstsze przypadki to:
- Dwa boki i kąt między nimi (bok-kąt-bok, bkb).
- Dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich (bok-bok-kąt, bbk). Tutaj trzeba uważać, bo mogą być dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie, albo brak rozwiązań!
- Jeden bok i dwa kąty (kąt-bok-kąt, kbk lub kąt-kąt-bok, kkb).
Zajmiemy się przede wszystkim przypadkiem bbk, bo jest najciekawszy i sprawia najwięcej problemów.
Twierdzenie Sinusów i Cosinusów - Niezbędne Narzędzia
Do rozwiązywania trójkątów potrzebujemy dwóch podstawowych twierdzeń: twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
Twierdzenie Sinusów
Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest stały dla wszystkich boków i kątów w trójkącie.
Czyli: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ), gdzie a, b, c to długości boków, a α, β, γ to kąty naprzeciwko tych boków.
Twierdzenie Cosinusów
Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Wygląda tak: a2 = b2 + c2 - 2bc cos(α), gdzie a to bok naprzeciwko kąta α, a b i c to pozostałe boki.
Możemy je zapisać też dla pozostałych boków i kątów:
- b2 = a2 + c2 - 2ac cos(β)
- c2 = a2 + b2 - 2ab cos(γ)
Rozwiązywanie Trójkąta - Krok po Kroku (Przypadek bbk)
Załóżmy, że mamy dane: bok a, bok b i kąt α (naprzeciwko boku a).
Krok 1: Użyj twierdzenia sinusów, aby znaleźć sin(β).
Mamy: a / sin(α) = b / sin(β). Przekształcamy to, aby wyznaczyć sin(β): sin(β) = (b * sin(α)) / a.
Krok 2: Sprawdź, czy istnieje rozwiązanie.
Pamiętaj, że wartość sinusa musi być pomiędzy -1 a 1! Jeśli |sin(β)| > 1, to nie ma rozwiązania. Trójkąt o takich danych nie istnieje.
Krok 3: Znajdź kąt β.
Jeśli |sin(β)| ≤ 1, to mamy jedno lub dwa możliwe rozwiązania dla kąta β. Używamy funkcji arcsin (sin-1) na kalkulatorze: β1 = arcsin(sin(β)).
WAŻNE: Sprawdź, czy istnieje drugie rozwiązanie! Drugie możliwe rozwiązanie to: β2 = 180° - β1. Musisz sprawdzić, czy oba kąty są poprawne. Kąt β2 jest poprawny, jeśli α + β2 < 180°.
Krok 4: Znajdź kąt γ.
Mamy dwa przypadki (jeśli istniały dwa rozwiązania dla β). Pamiętaj, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°.
- Dla β1: γ1 = 180° - α - β1
- Dla β2: γ2 = 180° - α - β2 (jeśli β2 istnieje)
Krok 5: Znajdź bok c.
Ponownie używamy twierdzenia sinusów, aby znaleźć bok c. Dla każdego z przypadków (jeśli istniały dwa rozwiązania dla β):
- Dla γ1: c1 = (a * sin(γ1)) / sin(α)
- Dla γ2: c2 = (a * sin(γ2)) / sin(α) (jeśli γ2 istnieje)
Gratulacje! Rozwiązałeś trójkąt. Pamiętaj, że mogło być jedno rozwiązanie, dwa rozwiązania, albo brak rozwiązań. Zawsze sprawdzaj wszystkie możliwości!
Przykład
Załóżmy, że mamy a = 10, b = 8, a α = 45°.
Krok 1: sin(β) = (8 * sin(45°)) / 10 ≈ 0.5657
Krok 2: |0.5657| < 1, więc istnieje rozwiązanie.
Krok 3: β1 = arcsin(0.5657) ≈ 34.44° oraz β2 = 180° - 34.44° ≈ 145.56°
Sprawdzamy, czy β2 jest poprawne: 45° + 145.56° = 190.56° > 180°, więc β2 nie jest rozwiązaniem.
Krok 4: γ = 180° - 45° - 34.44° ≈ 100.56°
Krok 5: c = (10 * sin(100.56°)) / sin(45°) ≈ 13.93
Rozwiązaniem jest: β ≈ 34.44°, γ ≈ 100.56°, c ≈ 13.93.
Wskazówki i Triki
- Zawsze rysuj sobie szkic trójkąta. To pomoże ci zorientować się w sytuacji i uniknąć błędów.
- Pamiętaj o jednostkach! Upewnij się, że kąty są w stopniach lub radianach.
- Sprawdzaj, czy twoje wyniki mają sens. Na przykład, najdłuższy bok powinien leżeć naprzeciwko największego kąta.
- Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz! Im więcej przykładów rozwiążesz, tym lepiej to zrozumiesz.
Podsumowanie
Rozwiązywanie trójkąta o danych bokach i kącie może wydawać się trudne, ale z odpowiednimi narzędziami i odrobiną praktyki, dasz radę! Pamiętaj o:
- Twierdzeniu sinusów: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)
- Twierdzeniu cosinusów: a2 = b2 + c2 - 2bc cos(α)
- Przypadku bbk (bok-bok-kąt) i możliwości istnienia dwóch rozwiązań, jednego rozwiązania lub braku rozwiązań.
- Sprawdzaniu, czy |sin(β)| ≤ 1.
- Sprawdzaniu, czy α + β2 < 180° (jeśli istnieje β2).
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
