Witaj! Przygotuj się do egzaminu z rozwiązywania nierówności! Omówimy krok po kroku, jak rozwiązać nierówność, zapisać zbiór rozwiązań i zaznaczyć go na osi liczbowej.
Rozwiązywanie Nierówności – Krok po Kroku
Nierówność to wyrażenie matematyczne, które pokazuje relację między dwiema wartościami, które niekoniecznie są równe. Używamy znaków takich jak < (mniejsze niż), > (większe niż), ≤ (mniejsze lub równe) i ≥ (większe lub równe).
Krok 1: Uprość Nierówność
Pierwszym krokiem jest uproszczenie nierówności. Usuń nawiasy i zredukuj wyrazy podobne po obu stronach nierówności.
Przykład: 2(x + 3) < 4x - 2
Po uproszczeniu: 2x + 6 < 4x - 2
Krok 2: Przenieś Niewiadome na Jedną Stronę
Następnie przenieś wszystkie wyrazy z niewiadomą (zwykle 'x') na jedną stronę nierówności, a wyrazy wolne na drugą stronę.
Pamiętaj! Przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę, zmień jego znak.
Przykład: 2x + 6 < 4x - 2
Przenosimy: 2x - 4x < -2 - 6
Upraszczamy: -2x < -8
Krok 3: Wyizoluj Niewiadomą
Teraz musimy wyizolować niewiadomą, czyli doprowadzić do sytuacji, gdzie mamy x < ... lub x > ... .
Aby to zrobić, podziel obie strony nierówności przez współczynnik przy 'x'.
Bardzo ważne! Jeśli dzielisz (lub mnożysz) przez liczbę ujemną, musisz zmienić znak nierówności!
Przykład: -2x < -8
Dzielimy przez -2 (i zmieniamy znak): x > 4
Zapisywanie Zbioru Rozwiązań
Po rozwiązaniu nierówności, musimy zapisać zbiór rozwiązań. Istnieją różne sposoby na to.
Notacja Przedziałowa
Najczęściej używana notacja. Używamy nawiasów okrągłych '(' i ')' dla wartości, które nie należą do zbioru (nierówności ostre < lub >), oraz nawiasów kwadratowych '[' i ']' dla wartości, które należą do zbioru (nierówności nieostre ≤ lub ≥).
Przykład: x > 4 - zbiór rozwiązań: (4, ∞)
Przykład: x ≤ 2 - zbiór rozwiązań: (-∞, 2]
Zawsze używamy nawiasów okrągłych przy nieskończoności (∞) i minus nieskończoności (-∞).
Zapis za Pomocą Nierówności
Po prostu przepisujemy rozwiązanie nierówności.
Przykład: x > 4
Zapis Zbioru
Używamy symbolu zbioru '{' i '}' oraz notacji matematycznej.
Przykład: x > 4 - zbiór rozwiązań: {x ∈ ℝ: x > 4}
Oznacza to: zbiór wszystkich x należących do liczb rzeczywistych, takich że x jest większe od 4.
Zaznaczanie Zbioru Rozwiązań na Osi Liczbowej
Ostatnim krokiem jest zaznaczenie zbioru rozwiązań na osi liczbowej.
Krok 1: Narysuj Oś Liczbową
Narysuj prostą linię i zaznacz na niej zero (0).
Krok 2: Zaznacz Graniczne Wartości
Zaznacz na osi liczbowej wartość graniczną rozwiązania nierówności.
Jeśli nierówność jest ostra (< lub >), użyj kółka otwartego. Oznacza to, że ta wartość nie należy do zbioru rozwiązań.
Jeśli nierówność jest nieostra (≤ lub ≥), użyj kółka zamkniętego (zamalowanego). Oznacza to, że ta wartość należy do zbioru rozwiązań.
Krok 3: Zaznacz Obszar Rozwiązań
Zaznacz na osi liczbowej obszar, który odpowiada rozwiązaniu nierówności. Użyj strzałki w lewo dla "mniejsze niż" i strzałki w prawo dla "większe niż".
Przykład: x > 4
Rysujemy oś liczbową. Zaznaczamy kółko otwarte przy 4. Rysujemy strzałkę w prawo od 4.
Przykład: x ≤ 2
Rysujemy oś liczbową. Zaznaczamy kółko zamknięte przy 2. Rysujemy strzałkę w lewo od 2.
Podsumowanie
Aby rozwiązać nierówność i zaznaczyć zbiór rozwiązań na osi liczbowej, pamiętaj o następujących krokach:
- Uprość nierówność.
- Przenieś niewiadome na jedną stronę i liczby na drugą stronę.
- Wyizoluj niewiadomą (pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną!).
- Zapisz zbiór rozwiązań (notacja przedziałowa, nierówność, zbiór).
- Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej (kółka otwarte/zamknięte i strzałki).
Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza!
