Zajmiemy się potęgami o tych samych wykładnikach. To ważny temat w matematyce. Pozwala uprościć obliczenia.
Definicja potęgi
Potęga to skrócony zapis mnożenia. Mnożymy liczbę przez samą siebie kilka razy. Na przykład, an oznacza, że liczbę a mnożymy przez siebie n razy.
a nazywamy podstawą potęgi. n nazywamy wykładnikiem potęgi. Ważne jest, aby pamiętać te nazwy. Będą nam potrzebne w dalszej części artykułu. an czytamy jako "a do potęgi n" albo "a do n-tej potęgi".
Przykład: 23 = 2 * 2 * 2 = 8. Tutaj podstawa to 2, a wykładnik to 3. Inny przykład: 52 = 5 * 5 = 25. W tym przypadku podstawa to 5, a wykładnik to 2.
Potęgowanie iloczynu
Kiedy mamy iloczyn podniesiony do potęgi, możemy zastosować pewną zasadę. Ta zasada mówi, że (a * b)n = an * bn. Oznacza to, że możemy podnieść każdy czynnik iloczynu do potęgi osobno. Następnie pomnożyć wyniki.
Przykład: (2 * 3)2 = 22 * 32. Sprawdźmy to. (2 * 3)2 = 62 = 36. 22 * 32 = 4 * 9 = 36. Zgadza się!
Inny przykład: (4 * 5)3 = 43 * 53. (4 * 5)3 = 203 = 8000. 43 * 53 = 64 * 125 = 8000. Znowu się zgadza.
Potęgowanie ilorazu
Podobnie, jak z iloczynem, istnieje zasada dla ilorazu. (a / b)n = an / bn, gdzie b nie może być równe 0. Czyli możemy podnieść licznik i mianownik do potęgi oddzielnie. Następnie podzielić wyniki.
Przykład: (6 / 2)3 = 63 / 23. Sprawdźmy to. (6 / 2)3 = 33 = 27. 63 / 23 = 216 / 8 = 27. Potwierdzone!
Inny przykład: (10 / 5)2 = 102 / 52. (10 / 5)2 = 22 = 4. 102 / 52 = 100 / 25 = 4. Wszystko się zgadza.
Przykłady i zastosowania
Zasady te przydają się w wielu sytuacjach. Upraszczają obliczenia algebraiczne. Pomagają rozwiązywać równania.
Przykład 1: Uprość wyrażenie (x * y)4. Stosujemy zasadę potęgowania iloczynu. (x * y)4 = x4 * y4. To jest już prostsza forma.
Przykład 2: Uprość wyrażenie (a / b)5. Stosujemy zasadę potęgowania ilorazu. (a / b)5 = a5 / b5. Pod warunkiem, że b jest różne od zera.
Przykład 3: Oblicz (5 * 2)3 bez użycia kalkulatora. (5 * 2)3 = 53 * 23 = 125 * 8 = 1000. Łatwiej było obliczyć potęgi osobno.
Podsumowanie
Potęgi o tych samych wykładnikach mają ciekawe właściwości. Możemy je wykorzystać do upraszczania wyrażeń. Ułatwiają obliczenia. Pamiętaj o zasadach potęgowania iloczynu i ilorazu. Są bardzo przydatne.
(a * b)n = an * bn oraz (a / b)n = an / bn. Zapamiętaj te wzory. Ćwicz użycie tych wzorów na różnych przykładach. Z czasem staną się intuicyjne.
Zrozumienie tych zasad pomaga w dalszej nauce matematyki. Będą przydatne w algebrze i analizie matematycznej. Powodzenia w dalszej nauce!
