Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii analitycznej? Świetnie! Porozmawiamy dziś o okręgu w układzie współrzędnych, tak jak to tłumaczy Matemaks. To jeden z ważniejszych tematów, więc skupmy się!
Równanie Okręgu
Zacznijmy od podstaw. Co to jest okrąg? To zbiór punktów, które są równo oddalone od jednego punktu, zwanego środkiem okręgu.
Równanie okręgu to sposób na opisanie tego okręgu za pomocą równania matematycznego. W układzie współrzędnych to bardzo przydatne!
Równanie Kanoniczne Okręgu
Najprostsza forma to równanie kanoniczne. Wygląda tak:
(x - a)² + (y - b)² = r²
Gdzie:
- (a, b) to współrzędne środka okręgu.
- r to promień okręgu.
- (x, y) to dowolny punkt leżący na okręgu.
Widzisz, to wcale nie jest takie straszne! Spróbujmy na przykładzie.
Okrąg ma środek w punkcie (2, -3) i promień 5. Jak będzie wyglądało jego równanie?
Po prostu wstawiamy wartości! a = 2, b = -3, r = 5. Czyli:
(x - 2)² + (y + 3)² = 25
Proste, prawda?
Równanie Ogólne Okręgu
Okrąg można opisać również za pomocą równania ogólnego. Wygląda ono tak:
x² + y² + Ax + By + C = 0
Gdzie A, B i C to stałe liczby.
Ale zaraz, zaraz... jak z tego równania wyznaczyć środek i promień? Trzeba trochę poprzekształcać!
Kluczem jest zwijanie do postaci kanonicznej. To znaczy, musimy doprowadzić równanie ogólne do postaci (x - a)² + (y - b)² = r².
Jak to zrobić? Uzupełniamy do pełnych kwadratów! To trochę algebry, ale dasz radę.
1. Grupujemy wyrazy z x i wyrazy z y: (x² + Ax) + (y² + By) + C = 0
2. Uzupełniamy do pełnych kwadratów: (x² + Ax + (A/2)²) + (y² + By + (B/2)²) + C - (A/2)² - (B/2)² = 0
3. Zwijamy do postaci kwadratów: (x + A/2)² + (y + B/2)² = (A/2)² + (B/2)² - C
Teraz już widzimy! Środek okręgu ma współrzędne (-A/2, -B/2), a promień to pierwiastek kwadratowy z prawej strony równania, czyli r = √((A/2)² + (B/2)² - C).
Ważne: Jeśli (A/2)² + (B/2)² - C jest mniejsze od zera, to... nie mamy okręgu! Równanie opisuje zbiór pusty.
Położenie Punktu Względem Okręgu
Kolejna ważna sprawa: Jak sprawdzić, czy dany punkt leży wewnątrz okręgu, na okręgu, czy na zewnątrz okręgu?
Mamy okrąg o równaniu (x - a)² + (y - b)² = r². I mamy punkt P o współrzędnych (x₀, y₀).
Obliczamy wartość wyrażenia (x₀ - a)² + (y₀ - b)² i porównujemy ją z r²:
- Jeśli (x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r², to punkt P leży wewnątrz okręgu.
- Jeśli (x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r², to punkt P leży na okręgu.
- Jeśli (x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r², to punkt P leży na zewnątrz okręgu.
Bardzo proste! Po prostu sprawdzamy, czy odległość punktu od środka jest mniejsza, równa, czy większa niż promień.
Okrąg Opisany Na Trójkącie
Okrąg opisany na trójkącie to okrąg, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Jego środek nazywamy środkiem okręgu opisanego.
Jak znaleźć środek okręgu opisanego? Jest kilka metod. Jedna z nich to znalezienie punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta.
Pamiętasz, co to symetralna? To prosta prostopadła do boku trójkąta, przechodząca przez jego środek.
Okrąg Wpisany W Trójkąt
Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek nazywamy środkiem okręgu wpisanego.
Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.
A dwusieczna? To prosta dzieląca kąt na dwie równe części.
Styczna Do Okręgu
Styczna do okręgu to prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem. Ten punkt nazywamy punktem styczności.
Styczna jest zawsze prostopadła do promienia okręgu, poprowadzonego do punktu styczności!
To bardzo ważna właściwość, która przydaje się przy rozwiązywaniu zadań.
Jeśli masz dany punkt na okręgu i chcesz znaleźć równanie stycznej, to:
- Znajdź równanie prostej przechodzącej przez środek okręgu i punkt styczności (to promień).
- Znajdź prostą prostopadłą do promienia, przechodzącą przez punkt styczności (to styczna).
Podsumowanie
Brawo! Przeszliśmy przez najważniejsze zagadnienia związane z okręgiem w układzie współrzędnych.
Pamiętaj o:
- Równaniu kanonicznym okręgu: (x - a)² + (y - b)² = r²
- Równaniu ogólnym okręgu: x² + y² + Ax + By + C = 0
- Położeniu punktu względem okręgu.
- Okręgu opisanym i wpisanym w trójkąt.
- Stycznej do okręgu i jej prostopadłości do promienia.
Przerób kilka zadań, żeby utrwalić wiedzę. Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, że Matemaks ma mnóstwo przykładów i objaśnień. Zajrzyj tam, jeśli czegoś nie rozumiesz.
