Oblicz Sume Kwadratw Pierwiastkw Rwnania

Często w matematyce spotykamy się z równaniami kwadratowymi. Dziś skupimy się na pewnym szczególnym aspekcie: obliczaniu sumy kwadratów pierwiastków takiego równania.

Równanie Kwadratowe – Podstawa

Zacznijmy od podstaw. Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0. Pomyśl o tym jak o przepisie na ciasto. a, b i c to nasze składniki, a x to niewiadoma – to, co musimy znaleźć.

a, b i c to liczby, zwane współczynnikami. a musi być różne od zera, inaczej nie mielibyśmy równania kwadratowego, tylko liniowe. Wyobraź sobie, że a jest jak waga – bez niego przepis nie zadziała.

Pierwiastki Równania

Pierwiastki równania to wartości x, które sprawiają, że równanie jest prawdziwe. Czyli, po ich wstawieniu do równania, lewa strona równa się prawej (zero). To tak jak dobranie odpowiedniej ilości składników, żeby ciasto wyszło idealne.

Równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki, jeden pierwiastek (podwójny) albo nie mieć pierwiastków rzeczywistych. To zależy od tego, jakie mamy składniki (a, b, c).

Obliczanie Sumy Kwadratów Pierwiastków

Interesuje nas teraz obliczenie x₁² + x₂², gdzie x₁ i x₂ to pierwiastki naszego równania.

Moglibyśmy oczywiście rozwiązać równanie, znaleźć pierwiastki i podnieść je do kwadratu, a następnie dodać. Ale istnieje sprytniejszy sposób, który pozwala nam uniknąć trudnych obliczeń.

Wykorzystamy wzory Viète'a. To one są naszym tajnym składnikiem!

Wzory Viète'a

Wzory Viète'a to magiczne formuły, które łączą pierwiastki równania kwadratowego z jego współczynnikami. Myśl o nich jak o translatorze – tłumaczą one język pierwiastków na język współczynników.

Dla równania ax² + bx + c = 0, wzory Viète'a mówią, że:

• x₁ + x₂ = -b/a (Suma pierwiastków)
• x₁ * x₂ = c/a (Iloczyn pierwiastków)

Suma pierwiastków to minus b podzielone przez a. Iloczyn pierwiastków to c podzielone przez a.

Suma Kwadratów

Teraz, jak z tych wzorów wyczarować sumę kwadratów? Użyjemy sprytnej sztuczki algebraicznej.

Zauważmy, że:

(x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²

To wzór na kwadrat sumy. Możemy go przekształcić, aby otrzymać to, czego szukamy:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Czyli suma kwadratów pierwiastków jest równa kwadratowi sumy pierwiastków minus dwa razy iloczyn pierwiastków. Widzisz już, jak wzory Viète'a wchodzą do gry?

Krok po Kroku

1. Wykorzystaj wzory Viète'a, aby znaleźć (x₁ + x₂) = -b/a oraz (x₁ * x₂) = c/a.

2. Podnieś sumę pierwiastków do kwadratu: (-b/a)² = b²/a².

3. Pomnóż iloczyn pierwiastków przez 2: 2 * (c/a) = 2c/a.

4. Odejmij wynik z kroku 3 od wyniku z kroku 2: b²/a² - 2c/a.

5. Uprość wyrażenie, sprowadzając do wspólnego mianownika: (b² - 2ac) / a².

Zatem:

x₁² + x₂² = (b² - 2ac) / a²

Przykład

Rozważmy równanie 2x² + 4x - 6 = 0.

Mamy a = 2, b = 4 i c = -6.

1. x₁ + x₂ = -b/a = -4/2 = -2.

2. x₁ * x₂ = c/a = -6/2 = -3.

Teraz podstawiamy do naszego wzoru:

x₁² + x₂² = (b² - 2ac) / a² = (4² - 2 * 2 * -6) / 2² = (16 + 24) / 4 = 40 / 4 = 10

Zatem suma kwadratów pierwiastków równania 2x² + 4x - 6 = 0 wynosi 10.

Podsumowanie

Obliczanie sumy kwadratów pierwiastków równania kwadratowego wydaje się skomplikowane, ale dzięki wzorom Viète'a i prostej algebrze, staje się to znacznie łatwiejsze. Pamiętaj o tym, gdy następnym razem napotkasz takie zadanie! To jak znalezienie skrótu na mapie – oszczędza czas i energię.

Pamiętaj, praktyka czyni mistrza. Im więcej przykładów rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz ten koncept.