Oblicz Dlugosc Wskazanej Przekatnej Graniastoslupa Prawidlowego

Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii? Super! Dzisiaj pomożemy Ci zrozumieć, jak obliczyć długość przekątnej w graniastosłupie prawidłowym. To wcale nie jest takie trudne, jak się wydaje!

Czym jest Graniastosłup Prawidłowy?

Zacznijmy od podstaw. Graniastosłup prawidłowy to taki graniastosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny. Czyli co? Czyli na przykład kwadrat, trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny...

Dodatkowo, ściany boczne są prostokątami i są prostopadłe do podstaw. Ważne!

Podstawa to Klucz

Rodzaj wielokąta w podstawie determinuje, z jakim graniastosłupem mamy do czynienia. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a graniastosłup prawidłowy czworokątny (inaczej sześcian lub prostopadłościan) ma w podstawie kwadrat.

Przekątne w Graniastosłupie

W graniastosłupie możemy wyróżnić różne rodzaje przekątnych. Mamy przekątne podstawy i przekątne ścian bocznych. Ale nas interesuje przekątna graniastosłupa. To odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie.

Jak ją Znaleźć?

Najczęściej wykorzystuje się twierdzenie Pitagorasa. Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest przekątna graniastosłupa. Jedną przyprostokątną jest wysokość graniastosłupa, a drugą... no właśnie, co?

Drugą przyprostokątną jest przekątna *podstawy*.

Krok po Kroku: Obliczanie Przekątnej

Oto jak to zrobić krok po kroku:

1. Określ, z jakim graniastosłupem prawidłowym masz do czynienia (trójkątny, czworokątny, sześciokątny...).
2. Oblicz długość przekątnej podstawy. To może wymagać znajomości wzorów na przekątne wielokątów foremnych. Na przykład, przekątna kwadratu o boku *a* to a√2. Przekątna sześciokąta foremnego to 2a.
3. Znasz wysokość graniastosłupa (*H*).
4. Użyj twierdzenia Pitagorasa: d² = p² + H², gdzie *d* to długość przekątnej graniastosłupa, *p* to długość przekątnej podstawy, a *H* to wysokość graniastosłupa.
5. Wylicz *d*. Czyli: d = √(p² + H²)

Przykłady

Przykład 1: Graniastosłup prawidłowy czworokątny (sześcian) o boku podstawy 4 i wysokości 3. Oblicz długość przekątnej graniastosłupa.

Krok 1: Mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny (czyli prostopadłościan).

Krok 2: Przekątna podstawy (kwadratu) to 4√2.

Krok 3: Wysokość to 3.

Krok 4: d² = (4√2)² + 3² = 32 + 9 = 41

Krok 5: d = √41

Przykład 2: Graniastosłup prawidłowy trójkątny o boku podstawy 6 i wysokości 8. Oblicz długość przekątnej graniastosłupa.

Krok 1: Mamy graniastosłup prawidłowy trójkątny.

Krok 2: Tutaj musimy uważać! Przekątna podstawy w *trójkącie* nie jest tym samym, co w czworokącie! Mówiąc wprost: trójkąt nie ma przekątnych. Musimy poszukać przekątnej *ściany bocznej*. Ta przekątna posłuży nam do wyliczenia przekątnej całego graniastosłupa.

Spróbujmy inaczej. Wyliczamy długość odcinka łączącego wierzchołek dolnej podstawy z przeciwległym wierzchołkiem górnej podstawy. Czyli mamy trójkąt prostokątny o bokach: wysokość (8) i bok podstawy (6).

d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

d = √100 = 10

W tym przypadku obliczyliśmy przekątną ściany bocznej, a nie przekątną całego graniastosłupa! Aby obliczyć przekątną graniastosłupa (od wierzchołka dolnej podstawy do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy), potrzebujemy więcej danych o budowie graniastosłupa (np. długości przekątnej podstawy, gdyby była ona w jakiś sposób zdefiniowana).

Pułapki i Wskazówki

• Upewnij się, że dobrze identyfikujesz rodzaj graniastosłupa.
• Pamiętaj o twierdzeniu Pitagorasa!
• Zwróć uwagę na jednostki!
• Rysunek pomocniczy ZAWSZE ułatwia sprawę.
• Jeśli masz do czynienia z graniastosłupem, którego podstawą jest figura, która nie ma "klasycznych" przekątnych (np. trójkąt), upewnij się, że rozumiesz, co właściwie masz obliczyć. Często w zadaniach chodzi o przekątną ściany bocznej, a nie przekątną całego graniastosłupa "przelatującą" przez jego wnętrze.

Podsumowanie

Obliczanie długości przekątnej w graniastosłupie prawidłowym sprowadza się do:

• Zrozumienia definicji graniastosłupa prawidłowego i przekątnej.
• Obliczenia długości przekątnej podstawy (lub zidentyfikowania odpowiednich odcinków, jeśli podstawa nie ma klasycznych przekątnych).
• Wykorzystania twierdzenia Pitagorasa.

Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiąż jak najwięcej zadań, a na pewno poradzisz sobie na egzaminie. Powodzenia!