Hej! Przygotowujesz się do egzaminu i masz problem z zadaniami, w których pojawia się wykres zależności prędkości od czasu? Bez obaw! Pokażę Ci, jak analizować takie wykresy krok po kroku. Skupimy się na tym, co najważniejsze, żebyś czuł się pewnie i potrafił rozwiązać każde zadanie!
Zrozumienie Wykresu v(t)
Podstawą jest zrozumienie, co tak naprawdę pokazuje wykres zależności prędkości od czasu, czyli v(t). Na osi poziomej (oś x) mamy czas (t), zazwyczaj wyrażony w sekundach (s) lub minutach (min). Na osi pionowej (oś y) mamy prędkość (v), wyrażoną na przykład w metrach na sekundę (m/s) lub kilometrach na godzinę (km/h).
Każdy punkt na wykresie odpowiada konkretnej wartości prędkości w danym momencie. Przykładowo, jeśli w punkcie 5 sekund wykres wskazuje prędkość 10 m/s, oznacza to, że po 5 sekundach ruchu rowerzysta poruszał się z prędkością 10 m/s.
Analiza Kształtu Wykresu
Kształt wykresu v(t) mówi nam bardzo dużo o ruchu rowerzysty. Przyjrzyjmy się kilku podstawowym sytuacjom:
- Linia pozioma: Jeśli wykres jest linią poziomą, oznacza to, że prędkość rowerzysty jest stała. Mamy wtedy do czynienia z ruchem jednostajnym prostoliniowym. Prędkość nie zmienia się w czasie.
- Linia prosta nachylona do góry: Oznacza to, że prędkość rowerzysty rośnie w czasie. Rowerzysta przyspiesza. Jeśli linia jest prosta, przyspieszenie jest stałe – mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym. Im bardziej stroma linia, tym większe przyspieszenie.
- Linia prosta nachylona w dół: Oznacza to, że prędkość rowerzysty maleje w czasie. Rowerzysta hamuje. Jeśli linia jest prosta, opóźnienie jest stałe – mamy do czynienia z ruchem jednostajnie opóźnionym prostoliniowym. Im bardziej stroma linia, tym większe opóźnienie.
- Linia krzywa: Oznacza to, że przyspieszenie nie jest stałe. Prędkość zmienia się w czasie w sposób nieregularny. Analiza takiego ruchu jest bardziej skomplikowana.
Obliczanie Przyspieszenia
Z wykresu v(t) możemy obliczyć przyspieszenie (a). W ruchu jednostajnie zmiennym (czyli tam, gdzie wykres jest linią prostą) przyspieszenie jest równe nachyleniu linii wykresu. Możemy to zapisać jako:
a = (Δv) / (Δt)
Gdzie Δv to zmiana prędkości, a Δt to zmiana czasu. Aby obliczyć przyspieszenie, wybierz dwa punkty na wykresie (t1, v1) i (t2, v2). Wtedy:
Δv = v2 - v1
Δt = t2 - t1
Pamiętaj o jednostkach! Jeśli prędkość jest w m/s, a czas w s, to przyspieszenie będzie w m/s². Jeśli przyspieszenie wyjdzie ujemne, oznacza to, że ciało hamuje (opóźnienie).
Przykład
Załóżmy, że na wykresie w punkcie t1 = 2 s prędkość wynosi v1 = 4 m/s, a w punkcie t2 = 6 s prędkość wynosi v2 = 12 m/s. Wtedy:
Δv = 12 m/s - 4 m/s = 8 m/s
Δt = 6 s - 2 s = 4 s
a = (8 m/s) / (4 s) = 2 m/s²
Oznacza to, że rowerzysta przyspieszał z przyspieszeniem 2 m/s².
Obliczanie Drogi
Kolejną ważną rzeczą, którą możemy wyznaczyć z wykresu v(t), jest droga (s). Droga przebyta przez rowerzystę w danym przedziale czasu odpowiada polu powierzchni pod wykresem w tym przedziale czasu.
- Ruch jednostajny: Jeśli wykres jest linią poziomą, pole pod wykresem jest prostokątem. Jego pole (czyli droga) to: s = v * t
- Ruch jednostajnie zmienny: Jeśli wykres jest linią prostą nachyloną, pole pod wykresem jest trapezem. Można obliczyć jego pole bezpośrednio lub rozbić trapez na prostokąt i trójkąt i obliczyć pola oddzielnie, a następnie je dodać. Alternatywnie, można skorzystać ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym: s = v₀ * t + (1/2) * a * t², gdzie v₀ to prędkość początkowa.
- Linia krzywa: Jeśli wykres jest krzywą, obliczenie drogi jest trudniejsze i może wymagać metod numerycznych lub przybliżonych (np. podzielenie obszaru pod wykresem na małe prostokąty i zsumowanie ich pól).
Przykład
Załóżmy, że rowerzysta poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością 5 m/s przez 10 sekund. Wtedy droga, jaką przebył, wynosi:
s = 5 m/s * 10 s = 50 m
Załóżmy, że rowerzysta ruszał z miejsca (v₀ = 0 m/s) i poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem 2 m/s² przez 5 sekund. Wtedy droga, jaką przebył, wynosi:
s = 0 m/s * 5 s + (1/2) * 2 m/s² * (5 s)² = 0 + (1/2) * 2 * 25 = 25 m
Przykładowe Zadanie
Na wykresie przedstawiono zależność prędkości rowerzysty od czasu w pierwszych 10 sekundach ruchu. W pierwszych 4 sekundach ruch był jednostajnie przyspieszony, a następnie przez 6 sekund rowerzysta poruszał się ze stałą prędkością. Oblicz:
- Przyspieszenie rowerzysty w pierwszych 4 sekundach.
- Drogę przebytą przez rowerzystę w pierwszych 10 sekundach.
Rozwiązanie:
- Aby obliczyć przyspieszenie, potrzebujemy odczytać prędkość z wykresu po 4 sekundach. Załóżmy, że prędkość po 4 sekundach wynosi 8 m/s. Prędkość początkowa wynosiła 0 m/s (rowerzysta ruszał z miejsca). Wtedy:
a = (8 m/s - 0 m/s) / (4 s - 0 s) = 2 m/s² - Aby obliczyć drogę, musimy obliczyć pole pod wykresem. Mamy tutaj trapez (lub trójkąt i prostokąt). Pole trójkąta (pierwsze 4 sekundy) to: (1/2) * 4 s * 8 m/s = 16 m. Pole prostokąta (następne 6 sekund) to: 6 s * 8 m/s = 48 m. Całkowita droga to: 16 m + 48 m = 64 m.
Podsumowanie
Pamiętaj o najważniejszych punktach:
- Wykres v(t) pokazuje zależność prędkości od czasu.
- Nachylenie wykresu to przyspieszenie.
- Pole pod wykresem to droga.
- Analizuj kształt wykresu: linia prosta oznacza ruch jednostajnie zmienny, linia pozioma - ruch jednostajny.
- Zwracaj uwagę na jednostki!
Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz zagadnienie wykresów zależności prędkości od czasu. Jesteś w stanie to zrobić!
