Witajcie, drodzy uczniowie klasy 8! Przygotujmy się razem do egzaminu z liczb i działań. Nie martwcie się, poradzimy sobie!
Liczby Wymierne i Niewymierne
Zacznijmy od podstaw. Pamiętacie, co to są liczby wymierne?
To liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest różne od zera.
Przykłady: 1/2, -3/4, 5, 0.
A co z liczbami niewymiernymi?
To liczby, których nie da się zapisać w postaci ułamka. Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Przykłady: √2, π (pi).
Działania na Liczbach Wymiernych
Teraz powtórzmy działania. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb wymiernych.
Dodawanie i odejmowanie: Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i wykonujemy działania na licznikach.
Mnożenie: Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
Dzielenie: Mnożymy przez odwrotność dzielnika.
Pamiętajcie o kolejności wykonywania działań: nawiasy, potęgowanie/pierwiastkowanie, mnożenie/dzielenie, dodawanie/odejmowanie.
Potęgi i Pierwiastki
Kolejny ważny temat: potęgi.
an oznacza, że a mnożymy przez siebie n razy.
Pamiętajcie o prawach działań na potęgach:
- am * an = am+n
- am / an = am-n
- (am)n = am*n
- (a*b)n = an * bn
- (a/b)n = an / bn
- a0 = 1 (dla a różnego od zera)
- a-n = 1 / an
A teraz pierwiastki.
√a to liczba, która podniesiona do kwadratu daje a.
3√a to liczba, która podniesiona do potęgi trzeciej daje a.
Pamiętajcie o własnościach pierwiastków:
- √(a*b) = √a * √b
- √(a/b) = √a / √b
Notacja Wykładnicza
Czasami mamy do czynienia z bardzo dużymi lub bardzo małymi liczbami. Wtedy przydaje się notacja wykładnicza.
Liczbę zapisujemy w postaci a * 10n, gdzie 1 ≤ |a| < 10, a n jest liczbą całkowitą.
Przykład: 3 000 000 = 3 * 106
Przykład: 0,00005 = 5 * 10-5
Procenty
Procent to inaczej setna część całości. 1% = 1/100 = 0,01.
Jak obliczyć procent danej liczby? Mnożymy tę liczbę przez procent wyrażony w postaci ułamka dziesiętnego.
Przykład: 20% z 50 = 0,20 * 50 = 10.
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga: Dzielimy jedną liczbę przez drugą i mnożymy przez 100%.
Przykład: Ile procent liczby 20 stanowi liczba 5? (5/20) * 100% = 25%.
Zmiana procentowa: Obliczamy różnicę między nową a starą wartością, dzielimy przez starą wartość i mnożymy przez 100%.
Działania na Zbiorach
Zbiór to grupa elementów.
Suma zbiorów (A ∪ B) to zbiór zawierający wszystkie elementy należące do zbioru A lub do zbioru B (lub do obu).
Iloczyn zbiorów (A ∩ B) to zbiór zawierający tylko te elementy, które należą zarówno do zbioru A, jak i do zbioru B.
Różnica zbiorów (A \ B) to zbiór zawierający elementy, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B.
Zbiór pusty (∅) to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów.
Przykłady Zadań
Rozwiąż równanie: 2x + 3 = 7
Oblicz: (2/3) + (1/4)
Oblicz: √16 + 3√8
Zapisz liczbę 0,00045 w notacji wykładniczej.
Oblicz 15% z liczby 80.
Wyznacz sumę i iloczyn zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {2, 3, 4}.
Podsumowanie
Omówiliśmy liczby wymierne i niewymierne, działania na liczbach, potęgi i pierwiastki, notację wykładniczą, procenty i działania na zbiorach.
Pamiętajcie o definicjach i prawach. Ćwiczcie rozwiązywanie zadań! Im więcej ćwiczeń, tym lepiej.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Was!
