Witajcie! Przygotowujemy się do egzaminu z matematyki. Skupimy się na zadaniach, gdzie liczby 7 i -1 są pierwiastkami równania.
Wprowadzenie do Pierwiastków Równania
Pierwiastek równania to liczba, która po podstawieniu do równania, spełnia je. Innymi słowy, lewa strona równania jest równa prawej stronie.
Mamy równanie. Na przykład, x + 2 = 0. Pierwiastkiem tego równania jest x = -2. Dlaczego? Bo -2 + 2 = 0.
W zadaniach często będziemy mieć równania kwadratowe. Są to równania postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b i c to współczynniki, a x to niewiadoma.
Równania Kwadratowe i Ich Pierwiastki
Równanie kwadratowe może mieć dwa, jeden lub zero pierwiastków. To zależy od delty (Δ).
Delta (Δ) to wyróżnik równania kwadratowego. Obliczamy go ze wzoru: Δ = b2 - 4ac.
Jeśli Δ > 0, równanie ma dwa różne pierwiastki.
Jeśli Δ = 0, równanie ma jeden pierwiastek (podwójny).
Jeśli Δ < 0, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Twierdzenia Viète'a
Twierdzenia Viète'a to bardzo przydatne narzędzie. Pozwalają powiązać pierwiastki równania kwadratowego z jego współczynnikami.
Dla równania x2 + bx + c = 0, jeśli x1 i x2 są pierwiastkami, to:
x1 + x2 = -b (suma pierwiastków)
x1 * x2 = c (iloczyn pierwiastków)
Zadania z Pierwiastkami 7 i -1
Teraz przejdźmy do zadań, gdzie wiemy, że pierwiastkami są 7 i -1.
Zadanie: Znajdź równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są 7 i -1.
Użyjemy Twierdzeń Viète'a. Wiemy, że suma pierwiastków to 7 + (-1) = 6, a iloczyn to 7 * (-1) = -7.
W równaniu x2 + bx + c = 0, mamy -b = 6 i c = -7. Zatem b = -6.
Równanie to: x2 - 6x - 7 = 0.
Sprawdźmy, czy 7 i -1 są pierwiastkami. Podstawmy x = 7: 72 - 6*7 - 7 = 49 - 42 - 7 = 0. Zgadza się!
Podstawmy x = -1: (-1)2 - 6*(-1) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0. Zgadza się!
Inny Typ Zadania
Zadanie: Dany jest jeden pierwiastek równania x2 + bx - 7 = 0, który wynosi 7. Znajdź drugi pierwiastek i wartość współczynnika b.
Wiemy, że iloczyn pierwiastków to -7. Jeden pierwiastek to 7. Zatem drugi pierwiastek, nazwijmy go x2, musi spełniać: 7 * x2 = -7.
Stąd x2 = -1.
Teraz znajdziemy b. Suma pierwiastków to 7 + (-1) = 6. Zatem -b = 6, czyli b = -6.
Przykładowe Zadanie z Parametrem
Zadanie: Dla jakiej wartości parametru m, liczba 7 jest pierwiastkiem równania x2 + mx - 7 = 0?
Podstawiamy x = 7 do równania: 72 + m*7 - 7 = 0.
49 + 7m - 7 = 0.
7m = -42.
m = -6.
Zatem, dla m = -6, liczba 7 jest pierwiastkiem tego równania. Sprawdźmy drugi pierwiastek: Wiemy że iloczyn pierwiastków to -7, stąd drugi pierwiastek to -1, więc równanie ma pierwiastki 7 i -1.
Podsumowanie
Pamiętaj! Pierwiastek równania spełnia to równanie. Równania kwadratowe mają postać ax2 + bx + c = 0. Delta (Δ) decyduje o liczbie pierwiastków. Korzystaj z Twierdzeń Viète'a, aby powiązać pierwiastki ze współczynnikami. Ćwicz zadania! Im więcej rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz temat.
Wszystkiego dobrego na egzaminie! Jesteście wspaniali i dacie radę!
