Witajcie drodzy studenci! Przygotowujemy się do egzaminu? Świetnie! Skupimy się na zagadnieniu związanym z kwadratem o wymiarach 10x10 kratek. To popularny motyw w zadaniach, więc warto go dobrze zrozumieć.
Podstawowe definicje
Zacznijmy od podstaw. Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste (90 stopni). W naszym przypadku mamy do czynienia z kwadratem podzielonym na mniejsze kwadratowe kratki. Każda kratka ma wymiary 1x1 jednostkę (np. centymetr, milimetr, cal).
Wymiary kwadratu 10x10 kratek oznaczają, że kwadrat ma 10 kratek na każdym boku. Czyli ma 10 kratek wszerz i 10 kratek wzdłuż.
Obwód kwadratu
Obwód to suma długości wszystkich boków figury. W przypadku kwadratu, obwód obliczamy mnożąc długość jednego boku przez 4. W naszym przypadku, długość jednego boku to 10 jednostek (10 kratek).
Obwód = 4 * długość boku
Obwód = 4 * 10 = 40 jednostek.
Zatem obwód naszego kwadratu 10x10 wynosi 40 jednostek.
Pole kwadratu
Pole to powierzchnia, jaką zajmuje figura. W przypadku kwadratu, pole obliczamy mnożąc długość boku przez długość boku (lub podnosząc długość boku do kwadratu).
Pole = długość boku * długość boku
Pole = 10 * 10 = 100 jednostek kwadratowych.
Zatem pole naszego kwadratu 10x10 wynosi 100 jednostek kwadratowych.
Podziały i proporcje
Często zadania dotyczą podziału kwadratu na mniejsze figury. Możemy podzielić go na mniejsze kwadraty, prostokąty, trójkąty itp.
Załóżmy, że podzielimy kwadrat 10x10 na cztery mniejsze, identyczne kwadraty. Każdy z tych mniejszych kwadratów będzie miał wymiary 5x5 kratek.
Pole każdego z tych mniejszych kwadratów wynosi: 5 * 5 = 25 jednostek kwadratowych.
Zauważ, że suma pól tych czterech mniejszych kwadratów (4 * 25 = 100) jest równa polu pierwotnego kwadratu 10x10.
Możemy też obliczyć, jaką część pierwotnego kwadratu zajmuje jeden z tych mniejszych kwadratów. Jeden mniejszy kwadrat (5x5) zajmuje 25/100, czyli 1/4 pierwotnego kwadratu.
Zadania z zacienionymi obszarami
Często spotykane są zadania, w których część kwadratu jest zacieniona. Należy wtedy obliczyć pole zacienionego obszaru.
Przykład: W kwadracie 10x10 zacieniono trójkąt prostokątny, którego podstawa ma długość 5 kratek, a wysokość 4 kratki. Jakie jest pole zacienionego obszaru?
Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: (podstawa * wysokość) / 2
W naszym przypadku: (5 * 4) / 2 = 10 jednostek kwadratowych.
Zatem pole zacienionego obszaru wynosi 10 jednostek kwadratowych.
Można też pytać, jaka część kwadratu jest zacieniona. W naszym przykładzie, zacieniona jest 10/100, czyli 1/10 kwadratu.
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa
Czasami w zadaniach pojawiają się przekątne kwadratu. Tutaj przyda się znajomość twierdzenia Pitagorasa.
W naszym kwadracie 10x10, przekątna tworzy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 10 (boki kwadratu), a przekątna jest przeciwprostokątną.
Z twierdzenia Pitagorasa: a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
W naszym przypadku: 102 + 102 = c2
100 + 100 = c2
200 = c2
c = √200 = 10√2
Zatem długość przekątnej kwadratu 10x10 wynosi 10√2 jednostek.
Kombinatoryka i liczenie kratek
W zadaniach może pojawić się pytanie o liczbę sposobów na wybranie konkretnej liczby kratek z kwadratu 10x10. To już wchodzi w zakres kombinatoryki, ale często można to rozwiązać logicznie, bez skomplikowanych wzorów.
Przykład: Ile jest kwadratów o wymiarach 2x2 kratki, które można umieścić w kwadracie 10x10?
Kwadrat 2x2 potrzebuje 2 rzędy i 2 kolumny. Możemy go przesunąć o 1 kratkę w prawo lub w dół. W poziomie mamy 10-2+1 = 9 możliwości, a w pionie również 9 możliwości.
Zatem liczba kwadratów 2x2 wynosi 9 * 9 = 81.
Podsumowanie
Zapamiętaj!
- Kwadrat: wszystkie boki równe, wszystkie kąty proste.
- Obwód kwadratu: 4 * długość boku.
- Pole kwadratu: długość boku * długość boku.
- Twierdzenie Pitagorasa: a2 + b2 = c2.
- Uważnie czytaj treść zadania i rysuj schematy, jeśli to pomoże.
Pamiętaj, praktyka czyni mistrza! Rozwiązuj jak najwięcej zadań, a na pewno zdasz egzamin śpiewająco. Powodzenia!
