Obliczanie kątów w trójkącie, mając dane długości boków, jest możliwe dzięki zastosowaniu twierdzenia cosinusów. Zobaczmy, jak to zrobić krok po kroku.
Definicje i Podstawy
Zacznijmy od podstawowych definicji.
Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech boków i trzech kątów.
Kąty w trójkącie oznaczamy zwykle greckimi literami: α (alfa), β (beta) i γ (gamma).
Boki trójkąta oznaczamy małymi literami: a, b i c. Zazwyczaj bok "a" leży naprzeciwko kąta α, bok "b" naprzeciwko kąta β, a bok "c" naprzeciwko kąta γ.
Twierdzenie cosinusów to fundamentalne narzędzie, które łączy długości boków trójkąta z cosinusem jednego z jego kątów.
Twierdzenie Cosinusów
Twierdzenie cosinusów mówi, że dla dowolnego trójkąta o bokach a, b, c i kątach α, β, γ zachodzą następujące zależności:
a² = b² + c² - 2bc * cos(α)
b² = a² + c² - 2ac * cos(β)
c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)
Zauważ, że jeśli kąt γ jest kątem prostym (90 stopni), to cos(γ) = 0, a powyższy wzór upraszcza się do twierdzenia Pitagorasa: c² = a² + b².
Obliczanie Kątów Krok po Kroku
Załóżmy, że mamy trójkąt o bokach a = 5, b = 7 i c = 8. Chcemy obliczyć kąty α, β i γ.
Krok 1: Obliczenie Kąta α
Używamy pierwszego wzoru z twierdzenia cosinusów: a² = b² + c² - 2bc * cos(α)
Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć cos(α):
cos(α) = (b² + c² - a²) / (2bc)
Podstawiamy wartości:
cos(α) = (7² + 8² - 5²) / (2 * 7 * 8) = (49 + 64 - 25) / 112 = 88 / 112 = 11 / 14
Teraz, aby znaleźć kąt α, musimy obliczyć arcus cosinus (arccos) wartości 11/14:
α = arccos(11/14) ≈ 38.21 stopni
Krok 2: Obliczenie Kąta β
Używamy drugiego wzoru z twierdzenia cosinusów: b² = a² + c² - 2ac * cos(β)
Przekształcamy wzór, aby wyznaczyć cos(β):
cos(β) = (a² + c² - b²) / (2ac)
Podstawiamy wartości:
cos(β) = (5² + 8² - 7²) / (2 * 5 * 8) = (25 + 64 - 49) / 80 = 40 / 80 = 1 / 2
Obliczamy arcus cosinus (arccos) wartości 1/2:
β = arccos(1/2) = 60 stopni
Krok 3: Obliczenie Kąta γ
Możemy obliczyć kąt γ na dwa sposoby. Pierwszy, używając twierdzenia cosinusów:
c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)
cos(γ) = (a² + b² - c²) / (2ab)
cos(γ) = (5² + 7² - 8²) / (2 * 5 * 7) = (25 + 49 - 64) / 70 = 10 / 70 = 1 / 7
γ = arccos(1/7) ≈ 81.79 stopni
Drugi sposób, wykorzystuje fakt, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni:
α + β + γ = 180 stopni
γ = 180 - α - β
γ = 180 - 38.21 - 60 ≈ 81.79 stopni
Oba sposoby dają ten sam wynik (z dokładnością do zaokrągleń).
Podsumowanie
Dzięki twierdzeniu cosinusów możemy obliczyć kąty w trójkącie, znając tylko długości jego boków. Wzory są proste do zastosowania, a proces obliczeń jest stosunkowo nieskomplikowany.
Przykład Praktyczny
Wyobraźmy sobie, że budujemy konstrukcję drewnianą w kształcie trójkąta. Mamy trzy deski o długościach 1.5m, 2m i 2.5m. Chcemy znać kąty pomiędzy nimi, aby konstrukcja była stabilna.
Oznaczmy: a = 1.5, b = 2, c = 2.5
Obliczamy kąt α:
cos(α) = (2² + 2.5² - 1.5²) / (2 * 2 * 2.5) = (4 + 6.25 - 2.25) / 10 = 8 / 10 = 0.8
α = arccos(0.8) ≈ 36.87 stopni
Obliczamy kąt β:
cos(β) = (1.5² + 2.5² - 2²) / (2 * 1.5 * 2.5) = (2.25 + 6.25 - 4) / 7.5 = 4.5 / 7.5 = 0.6
β = arccos(0.6) ≈ 53.13 stopni
Obliczamy kąt γ:
γ = 180 - 36.87 - 53.13 = 90 stopni
Widzimy, że mamy trójkąt prostokątny. Znając te kąty, możemy precyzyjnie połączyć deski, aby konstrukcja była stabilna i zgodna z planem.
Pamiętaj, że twierdzenie cosinusów jest potężnym narzędziem w rozwiązywaniu problemów geometrycznych i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak budownictwo, geodezja, inżynieria i fizyka.
