Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z matematyki? Świetnie! Zajmiemy się dzisiaj dodawaniem pierwiastków o różnych podstawach. To może wydawać się trudne, ale spokojnie, wszystko wytłumaczę krok po kroku.
Czym są pierwiastki?
Pierwiastek to działanie matematyczne, które "rozwiązuje" potęgowanie.
Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 9 (√9) to 3, bo 32 = 9.
Podobnie, pierwiastek sześcienny z 8 (3√8) to 2, bo 23 = 8.
Podstawa pierwiastka (stopień pierwiastka) to mała liczba nad symbolem pierwiastka (√). Jeśli jej nie ma, to domyślnie jest to 2 (pierwiastek kwadratowy).
Kiedy możemy dodawać pierwiastki?
Pierwiastki możemy dodawać tylko wtedy, gdy mają:
- Ten sam stopień pierwiastka.
- Tę samą liczbę podpierwiastkową (to, co jest pod pierwiastkiem).
Na przykład: 2√3 + 5√3 = 7√3. Możemy dodać te pierwiastki, ponieważ oba są pierwiastkami kwadratowymi (stopień 2) i mają pod pierwiastkiem liczbę 3.
Nie możemy dodać √2 + √3, ponieważ liczby pod pierwiastkiem są różne.
Nie możemy dodać √2 + 3√2, ponieważ stopnie pierwiastków są różne.
Co zrobić, gdy mamy różne podstawy?
Jeśli mamy pierwiastki o różnych podstawach, musimy je najpierw uprościć. Często da się je przekształcić tak, aby miały tę samą podstawę i liczbę podpierwiastkową.
Oto kilka technik, które mogą się przydać:
1. Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
To bardzo przydatna technika! Szukamy w liczbie podpierwiastkowej czynnika, który jest kwadratem (lub sześcianem, jeśli mamy pierwiastek trzeciego stopnia, itd.).
Przykład: √8 = √(4 * 2) = √4 * √2 = 2√2.
Zauważ, że 4 jest kwadratem liczby 2, więc mogliśmy wyłączyć √4 jako 2 przed pierwiastek.
Przykład: √27 = √(9 * 3) = √9 * √3 = 3√3.
2. Włączanie czynnika pod pierwiastek
Możemy również włączyć czynnik przed pierwiastek pod pierwiastek. Trzeba pamiętać o podniesieniu go do potęgi równej stopniowi pierwiastka.
Przykład: 2√3 = √(22 * 3) = √(4 * 3) = √12.
Przykład: 33√2 = 3√(33 * 2) = 3√(27 * 2) = 3√54.
3. Sprowadzanie do wspólnego mianownika (dla pierwiastków wyższych stopni)
Czasami potrzebujemy sprowadzić pierwiastki do wspólnego stopnia, aby móc je porównać lub połączyć. Można to zrobić, korzystając z własności pierwiastków i potęg.
Przykład: Chcemy porównać √2 i 3√3.
Zapisujemy √2 jako 21/2 i 3√3 jako 31/3.
Sprowadzamy ułamki w potęgach do wspólnego mianownika: 21/2 = 23/6 i 31/3 = 32/6.
Teraz możemy zapisać to jako 6√23 = 6√8 i 6√32 = 6√9.
Widzimy, że 6√9 jest większe niż 6√8, czyli 3√3 > √2.
Przykłady dodawania pierwiastków o różnych podstawach
Spójrzmy na kilka przykładów, żeby wszystko stało się jasne:
Przykład 1: √8 + √18
Upraszczamy: √8 = √(4 * 2) = 2√2
√18 = √(9 * 2) = 3√2
Teraz możemy dodać: 2√2 + 3√2 = 5√2
Przykład 2: 3√24 - 3√3
Upraszczamy: 3√24 = 3√(8 * 3) = 23√3
Teraz możemy odjąć: 23√3 - 3√3 = 3√3
Przykład 3: √50 + √32 - √8
Upraszczamy: √50 = √(25 * 2) = 5√2
√32 = √(16 * 2) = 4√2
√8 = √(4 * 2) = 2√2
Teraz możemy dodać i odjąć: 5√2 + 4√2 - 2√2 = 7√2
Wskazówki i triki
- Zawsze staraj się uprościć pierwiastki przed dodawaniem.
- Pamiętaj o wyłączaniu czynnika przed pierwiastek.
- Uważaj na stopień pierwiastka!
- Ćwicz, ćwicz, ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz te zagadnienia.
Podsumowanie
Dodawanie pierwiastków o różnych podstawach wymaga od nas uproszczenia ich najpierw. Wykorzystujemy do tego wyłączanie czynnika przed pierwiastek, włączanie czynnika pod pierwiastek oraz, w przypadku pierwiastków wyższych stopni, sprowadzanie do wspólnego mianownika. Pamiętaj, że możemy dodawać tylko pierwiastki o tym samym stopniu i tej samej liczbie podpierwiastkowej. Powodzenia na egzaminie!
Pamiętaj, matematyka to trening. Im więcej ćwiczysz, tym lepiej idzie! Trzymam kciuki!
