Cześć! Dziś zajmiemy się funkcjami kawałkami.
To może brzmieć strasznie, ale obiecuję, że to nic trudnego!
Czym jest funkcja kawałkami?
Wyobraź sobie przepis na ciasto. Czasem musisz użyć różnych składników i instrukcji w zależności od etapu przygotowania, prawda?
Funkcja kawałkami to coś podobnego. To funkcja, która ma różne "przepisy" (czyli różne wzory) dla różnych części swojej dziedziny (czyli zakresu x).
Definicja: Funkcja kawałkami to funkcja, która jest definiowana przez różne wyrażenia algebraiczne w różnych przedziałach swojej dziedziny.
Pomyśl o termostacie. Jeśli temperatura jest poniżej pewnej wartości, włącza się ogrzewanie. Jeśli jest powyżej innej wartości, włącza się klimatyzacja. To przykład funkcji kawałkami w życiu codziennym!
Kluczowe pojęcia
Zanim przejdziemy dalej, upewnijmy się, że rozumiemy kilka ważnych pojęć.
Dziedzina: To zbiór wszystkich możliwych wartości x, dla których funkcja jest zdefiniowana.
Przeciwdziedzina: To zbiór wszystkich możliwych wartości y (czyli wyników) funkcji.
Przedział: To fragment osi liczbowej. Może być otwarty (nie zawiera końców) lub zamknięty (zawiera końce).
Punkt krańcowy: To punkt, w którym zmienia się definicja funkcji kawałkami.
Opis funkcji kawałkami z wykresu
Załóżmy, że mamy wykres funkcji kawałkami.
Naszym zadaniem jest opisać ją matematycznie. To znaczy, znaleźć wzory i przedziały, dla których te wzory obowiązują.
Proces ten składa się z kilku kroków.
Krok 1: Znajdź punkty krańcowe
Popatrz na wykres. W których miejscach funkcja zmienia swoje zachowanie?
To są nasze punkty krańcowe. Na wykresie, to zazwyczaj punkty, w których zmienia się nachylenie linii, pojawia się "skok", albo funkcja przestaje być ciągła.
Zaznacz te punkty na osi x.
Krok 2: Określ wzór dla każdego kawałka
Teraz musimy znaleźć wzór funkcji dla każdego przedziału między punktami krańcowymi.
Najczęściej będziemy mieli do czynienia z funkcjami liniowymi (linie proste).
Przypomnijmy sobie wzór na równanie prostej: y = mx + b, gdzie m to nachylenie, a b to punkt przecięcia z osią y.
Dla każdego kawałka wykresu:
- Wybierz dwa punkty na tej części wykresu.
- Oblicz nachylenie m, używając wzoru: m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
- Znajdź punkt przecięcia z osią y (b). Możesz to zrobić, podstawiając współrzędne jednego z wybranych punktów oraz obliczone nachylenie do równania y = mx + b i rozwiązując względem b.
- Zapisz wzór funkcji dla tego kawałka: y = mx + b.
Jeśli kawałek wykresu jest linią poziomą, to jego wzór będzie po prostu y = c, gdzie c to wartość y.
Krok 3: Określ przedziały dla każdego kawałka
Teraz musimy określić, dla jakich wartości x dany wzór obowiązuje.
Zapisz przedziały, używając notacji przedziałowej. Pamiętaj o użyciu odpowiednich nawiasów:
- ( i ) oznaczają przedział otwarty (bez końców). Używamy ich, gdy punkt krańcowy *nie* należy do danego kawałka (np. mamy "otwarte kółko" na wykresie).
- [ i ] oznaczają przedział zamknięty (z końcami). Używamy ich, gdy punkt krańcowy należy do danego kawałka (np. mamy "zamknięte kółko" na wykresie).
Na przykład, jeśli funkcja jest zdefiniowana wzorem y = x + 1 dla x większych lub równych 0, ale mniejszych niż 2, to zapiszemy to jako: 0 ≤ x < 2 lub w notacji przedziałowej: x ∈ [0, 2).
Krok 4: Zapisz całą funkcję kawałkami
Teraz zbieramy wszystkie informacje i zapisujemy kompletną definicję funkcji kawałkami. Używamy notacji z "dużą klamrą":
f(x) = { wzór_1, jeśli x ∈ przedział_1 ; wzór_2, jeśli x ∈ przedział_2 ; ... }
Przykład
Załóżmy, że mamy wykres funkcji kawałkami składający się z dwóch odcinków:
Odcinek 1: Linia prosta przechodząca przez punkty (0, 1) i (2, 3) dla x < 2.
Odcinek 2: Linia pozioma y = 4 dla x ≥ 2.
Krok 1: Punkty krańcowe
Punkt krańcowy to x = 2.
Krok 2: Wzory dla każdego kawałka
Odcinek 1:
Nachylenie: m = (3 - 1) / (2 - 0) = 2 / 2 = 1.
Punkt przecięcia z osią y: b = 1.
Wzór: y = x + 1.
Odcinek 2:
Linia pozioma, więc wzór to po prostu y = 4.
Krok 3: Przedziały dla każdego kawałka
Odcinek 1: x < 2 (przedział otwarty, ponieważ na wykresie jest otwarte kółko w punkcie (2,3)). Zatem zapisujemy x ∈ (-∞, 2).
Odcinek 2: x ≥ 2 (przedział zamknięty, ponieważ na wykresie jest zamknięte kółko lub linia ciągnie się dalej). Zatem zapisujemy x ∈ [2, ∞).
Krok 4: Zapis całej funkcji
f(x) = { x + 1, jeśli x < 2 ; 4, jeśli x ≥ 2 }
Kilka wskazówek
Zawsze sprawdzaj, czy funkcja jest dobrze zdefiniowana w punktach krańcowych. To znaczy, czy dla każdego x istnieje tylko jedna wartość y.
Uważaj na "dziury" w wykresie (otwarte kółka). Oznaczają one, że punkt nie należy do danego kawałka funkcji.
Ćwicz! Im więcej przykładów zrobisz, tym łatwiej będzie Ci rozpoznawać i opisywać funkcje kawałkami.
Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Ci zrozumieć funkcje kawałkami! Powodzenia w nauce!
