Hej! Zaraz sprawdzimy Twoją wiedzę o liczbach niewymiernych. Powodzenia na egzaminie! Jesteś na dobrej drodze.
Czym jest Liczba Niewymierna?
Zacznijmy od podstaw. Co to właściwie jest liczba niewymierna?
Najprościej mówiąc, to taka liczba, której nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Czyli w postaci p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q jest różne od zera.
Pamiętaj: p i q muszą być liczbami całkowitymi!
To ważny szczegół, często pomijany. Zapamiętaj to!
Przykłady Liczb Niewymiernych
Zobaczmy kilka przykładów. To pomoże Ci zrozumieć.
Najbardziej znany przykład to π (pi). To stosunek obwodu koła do jego średnicy.
π ≈ 3,1415926535... Liczba cyfr po przecinku jest nieskończona i nie ma powtarzającego się wzoru.
Kolejny przykład: √2 (pierwiastek kwadratowy z 2). Wynosi około 1,41421356...
Podobnie jak π, ma nieskończoną liczbę cyfr po przecinku bez powtarzającego się wzoru.
√3 (pierwiastek kwadratowy z 3), √5 (pierwiastek kwadratowy z 5), i ogólnie pierwiastki kwadratowe z liczb, które nie są kwadratami liczb całkowitych, są zazwyczaj niewymierne.
Liczba Eulera (e), podstawa logarytmu naturalnego, to kolejna liczba niewymierna. e ≈ 2,71828...
Liczby Wymierne kontra Liczby Niewymierne
Aby lepiej zrozumieć liczby niewymierne, porównajmy je z liczbami wymiernymi.
Liczba wymierna to taka, którą *da się* zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q jest różne od zera.
Przykłady liczb wymiernych: 1/2, 3, -5/7, 0,25 (bo to 1/4), 0,333... (bo to 1/3).
Zauważ, że liczby wymierne mają albo skończone rozwinięcie dziesiętne, albo nieskończone rozwinięcie dziesiętne okresowe (czyli powtarzający się wzór).
Liczby niewymierne charakteryzują się *nieskończonym* i *nieokresowym* rozwinięciem dziesiętnym.
Jak Rozpoznać Liczbę Niewymierną?
Jak odróżnić liczbę wymierną od niewymiernej?
Sprawdź, czy da się ją zapisać w postaci ułamka p/q. Jeśli tak, to jest wymierna.
Jeśli rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, to jest niewymierna.
Uważaj na pierwiastki! Jeśli pierwiastek kwadratowy, sześcienny, etc., nie daje liczby całkowitej, to prawdopodobnie jest niewymierny.
Pamiętaj, że niektóre liczby, które wyglądają na niewymierne, mogą być w rzeczywistości wymierne, jeśli dają się uprościć do postaci ułamka.
Na przykład, √(9) = 3, więc to liczba wymierna!
Działania na Liczbach Niewymiernych
Co się dzieje, gdy dodajemy, odejmujemy, mnożymy lub dzielimy liczby niewymierne?
Suma lub różnica dwóch liczb niewymiernych *może*, ale *nie musi* być liczbą niewymierną.
Na przykład: √2 + (-√2) = 0 (liczba wymierna).
Iloczyn lub iloraz dwóch liczb niewymiernych *może*, ale *nie musi* być liczbą niewymierną.
Na przykład: √2 * √2 = 2 (liczba wymierna).
Dodanie lub odjęcie liczby wymiernej od liczby niewymiernej zawsze daje liczbę niewymierną.
Pomnożenie lub podzielenie liczby niewymiernej przez liczbę wymierną (różną od zera) zawsze daje liczbę niewymierną.
Przykłady Zadań Egzaminacyjnych
Zobaczmy, jak to wygląda w praktyce. Spróbuj rozwiązać te zadania.
Zadanie 1: Czy liczba 0,123456789101112... jest wymierna czy niewymierna? (Ciąg cyfr tworzą kolejne liczby naturalne).
Odpowiedź: Niewymierna, ponieważ rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Zadanie 2: Czy liczba √49 jest wymierna czy niewymierna?
Odpowiedź: Wymierna, ponieważ √49 = 7.
Zadanie 3: Czy liczba π + 1 jest wymierna czy niewymierna?
Odpowiedź: Niewymierna, ponieważ dodanie liczby wymiernej (1) do liczby niewymiernej (π) daje liczbę niewymierną.
Podsumowanie
Liczba niewymierna: Nie da się jej zapisać w postaci ułamka p/q (p i q to liczby całkowite, q ≠ 0).
Rozwinięcie dziesiętne: Nieskończone i nieokresowe.
Przykłady: π, √2, e.
Liczba wymierna: Da się zapisać w postaci ułamka p/q.
Rozwinięcie dziesiętne: Skończone lub nieskończone okresowe.
Pamiętaj o tych definicjach i przykładach. Zdasz ten egzamin! Trzymam kciuki!
