Witajcie, przyszli mistrzowie rachunku różniczkowego i całkowego! Chcecie zdać egzamin z Calculus 8th Edition James Stewart? Super! Przygotowałem dla Was przewodnik.
Powtórka Przed Egzaminem
Zaczynamy! Pamiętajcie, systematyczność to klucz.
Granice i Ciągłość
Granica funkcji. Podstawa. Definicja formalna (epsilon-delta) ważna, ale liczenie granic – ważniejsze. Pamiętaj: granice jednostronne.
Sprawdź, czy rozumiesz, kiedy granica nie istnieje. Przypomnij sobie twierdzenie o trzech funkcjach. Bardzo przydatne!
Ciągłość funkcji. Funkcja musi być zdefiniowana, mieć granicę i granica musi być równa wartości funkcji. Proste?
Sprawdź punkty, w których funkcja może być nieciągła. Mianowniki, pierwiastki parzystego stopnia, funkcje kawałkami określone.
Pochodne
Definicja pochodnej. Limit ilorazu różnicowego. To musisz znać na pamięć. Alternatywna definicja też się przyda.
Reguły różniczkowania. Suma, różnica, iloczyn, iloraz, funkcja złożona (reguła łańcuchowa). Bez tego ani rusz!
Pochodne funkcji trygonometrycznych. Sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans. Warto znać na pamięć.
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych. ex, ax, ln(x), loga(x). Ważne i często używane.
Różniczkowanie uwikłane. Kiedy y jest funkcją x, ale nie jest jawnie wyrażone. Pamiętaj o regule łańcuchowej!
Pochodne wyższych rzędów. Druga pochodna, trzecia pochodna itd. Do znajdowania punktów przegięcia.
Zastosowania Pochodnych
Ekstrema lokalne. Minimum i maksimum. Pierwsza pochodna równa zero lub nie istnieje (punkty krytyczne). Test pierwszej i drugiej pochodnej.
Ekstrema globalne. Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale. Sprawdź punkty krytyczne i końce przedziału.
Przedziały monotoniczności. Kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje. Znak pierwszej pochodnej.
Wklęsłość i wypukłość. Kiedy funkcja jest wklęsła, a kiedy wypukła. Znak drugiej pochodnej. Punkty przegięcia.
Asymptoty. Pionowe, poziome, ukośne. Granice w nieskończoności i punkty nieciągłości.
Optymalizacja. Szukanie najlepszego rozwiązania. Maksymalizacja zysku, minimalizacja kosztów. Zadania tekstowe!
Reguła de l'Hôpitala. Kiedy mamy nieoznaczoność 0/0 lub ∞/∞. Stosujemy pochodne licznika i mianownika.
Całki
Całka nieoznaczona. Funkcja pierwotna. Pamiętaj o stałej całkowania C.
Całki podstawowe. Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne. Tablica całek!
Metody całkowania. Całkowanie przez podstawienie. Całkowanie przez części. Wybór odpowiedniej metody to klucz.
Całka oznaczona. Obszar pod krzywą. Twierdzenie podstawowe rachunku całkowego.
Zastosowania całek. Pole obszaru między krzywymi. Objętość brył obrotowych. Długość łuku.
Techniki Całkowania
Całkowanie przez podstawienie. Wybór odpowiedniego podstawienia. Pamiętaj o zmianie granic całkowania (przy całkach oznaczonych).
Całkowanie przez części. Wzór: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Wybór u i dv.
Całki z funkcji trygonometrycznych. Tożsamości trygonometryczne bardzo pomagają. Potęgi sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa.
Podstawienia trygonometryczne. Kiedy w całce pojawia się √(a2 - x2), √(a2 + x2), √(x2 - a2).
Rozkład na ułamki proste. Kiedy całkujemy funkcję wymierną. Rozkład mianownika na czynniki.
Zastosowania Całek Oznaczonych
Pole obszaru między krzywymi. Całkujemy różnicę funkcji. Trzeba wiedzieć, która funkcja jest "wyżej".
Objętość brył obrotowych. Metoda dysków/kół, metoda powłok walcowych. Dobierz metodę w zależności od sytuacji.
Długość łuku. Wzór z całką. Potrzebna pochodna funkcji.
Równania Różniczkowe
Równania o zmiennych rozdzielonych. Oddzielamy x i y. Potem całkujemy obie strony.
Równania liniowe pierwszego rzędu. Mnożnik całkujący. Wzór na rozwiązanie.
Podsumowanie
Opanuj definicje. Ćwicz liczenie granic, pochodnych i całek. Rozwiązuj zadania tekstowe. Pamiętaj o tożsamościach trygonometrycznych i wzorach.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
