Zapisz Symbolicznie Zbiory Opisane W Nastepujacy Sposob

Written by Margaret Weigel
Updated at: 16 June 2025

Hej! Gotowi na powtórkę z zapisywania zbiorów symbolicznie? Super, zaczynajmy!

Podstawy Teorii Zbiorów

Zacznijmy od podstaw. Co to właściwie jest zbiór? To po prostu grupa różnych elementów.

Elementy zbioru mogą być czymkolwiek: liczby, litery, obiekty, a nawet inne zbiory!

Zbiór oznaczamy zwykle dużą literą, np. A, B, C.

Elementy zbioru zapisujemy w nawiasach klamrowych: { }. Na przykład, zbiór A zawierający liczby 1, 2 i 3 zapiszemy: A = {1, 2, 3}.

Zapisywanie Zbiorów: Metody

Istnieją dwa główne sposoby zapisywania zbiorów:

Wymienienie wszystkich elementów (jeśli jest to możliwe).
Opisanie cechy charakterystycznej elementów (często używane dla zbiorów nieskończonych).

Omówmy każdą z tych metod szczegółowo.

Wymienianie Elementów

To najprostsza metoda. Po prostu wypisujemy wszystkie elementy w nawiasach klamrowych.

Przykład: Zbiór B składający się z liczb parzystych mniejszych od 10: B = {2, 4, 6, 8}.

Kolejność elementów w zbiorze nie ma znaczenia. {1, 2, 3} to to samo co {3, 1, 2}.

Ważne: każdy element wymieniamy tylko raz. {1, 2, 2, 3} jest równoważne {1, 2, 3}.

Opisywanie Cechy Charakterystycznej

Ta metoda jest niezbędna, gdy zbiór jest zbyt duży (np. nieskończony), aby wypisać wszystkie elementy.

Używamy wtedy zapisu z wykorzystaniem symboli matematycznych i logicznych.

Ogólna forma zapisu to: {x : warunek(x)}, co czytamy: "zbiór wszystkich x, takich że zachodzi warunek(x)".

Symbol ":" oznacza "takie że". Czasami zamiast ":" używa się "|".

Przykład: Zbiór liczb naturalnych parzystych: {x : x jest liczbą naturalną i x jest podzielne przez 2}. Można to zapisać bardziej zwięźle: {x ∈ ℕ : x = 2k, gdzie k ∈ ℕ}.

Przykłady i Ćwiczenia

Rozważmy kilka przykładów, aby lepiej zrozumieć tę metodę.

Przykład 1: Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od 0 i mniejszych od 1: {x ∈ ℝ : 0 < x < 1}.

Przykład 2: Zbiór wszystkich liczb całkowitych, których kwadrat jest mniejszy od 10: {x ∈ ℤ : x² < 10}. Można to też zapisać wypisując elementy: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Przykład 3: Zbiór wszystkich studentów Twojej grupy, którzy zdali egzamin z matematyki. Tutaj *x* oznacza studenta. {x : x jest studentem mojej grupy i x zdał egzamin z matematyki}.

Teraz kilka ćwiczeń dla Ciebie! Zapisz symbolicznie następujące zbiory:

Zbiór wszystkich liczb naturalnych nieparzystych.
Zbiór wszystkich liter alfabetu łacińskiego.
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których wartość bezwzględna jest równa 5.

Dodatkowe Symbole i Pojęcia

Ważne są także symbole używane w teorii zbiorów:

∈ - należy do (np. x ∈ A oznacza, że element x należy do zbioru A).
∉ - nie należy do (np. x ∉ A oznacza, że element x nie należy do zbioru A).
⊆ - zawiera się (np. A ⊆ B oznacza, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, czyli każdy element A jest też elementem B).
⊂ - zawiera się właściwie (A ⊂ B oznacza, że A ⊆ B i A ≠ B).
∪ - suma zbiorów (A ∪ B to zbiór zawierający wszystkie elementy z A i B).
∩ - iloczyn (przecięcie) zbiorów (A ∩ B to zbiór zawierający tylko te elementy, które należą zarówno do A, jak i do B).
\ - różnica zbiorów (A \ B to zbiór zawierający elementy, które należą do A, ale nie należą do B).
∅ - zbiór pusty (zbiór, który nie zawiera żadnych elementów).
ℕ - zbiór liczb naturalnych (1, 2, 3, ...).
ℤ - zbiór liczb całkowitych (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
ℚ - zbiór liczb wymiernych (liczby, które można zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0).
ℝ - zbiór liczb rzeczywistych.