Hej! Zastanawiałeś się kiedyś, jak zamienić te dziwne ułamki okresowe na zwykłe?
Wyglądają trochę strasznie, prawda? Ale nie martw się, to wcale nie jest takie trudne! Pokażę Ci krok po kroku, jak to zrobić.
Co to jest ułamek okresowy?
Zacznijmy od podstaw. Ułamek okresowy to taki ułamek, w którym po przecinku jakaś cyfra lub grupa cyfr powtarza się w nieskończoność.
Pomyśl o tym jak o pętli. Te powtarzające się cyfry nazywamy okresem. Na przykład, 1/3 to 0,(3). Nawias oznacza, że 3 powtarza się w nieskończoność.
Inny przykład? Weźmy 5/6. To jest 0,8(3). Tutaj tylko 3 się powtarza. Ważne jest, żeby rozpoznać, która część ułamka się powtarza.
Przykłady z życia
Może wydaje się to abstrakcyjne, ale ułamki okresowe pojawiają się w wielu miejscach! Wyobraź sobie, że dzielisz pizzę na 3 części. Każda część to 1/3 pizzy. To jest właśnie 0,(3) pizzy.
Albo, jeśli obliczasz procent, który nie daje dokładnej liczby całkowitej, możesz skończyć z ułamkiem okresowym. Na przykład, podatek VAT może czasami prowadzić do takich sytuacji.
Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?
OK, teraz do konkretów. Jak zamienić ten ułamek okresowy z powrotem na zwykły ułamek, czyli taki z licznikiem i mianownikiem? Potrzebujemy kilku prostych kroków.
Najpierw, nazwij nasz ułamek okresowy jako x. To ułatwi nam dalsze działania. To będzie nasza zmienna pomocnicza.
Krok 1: Ustal okres
Zidentyfikuj, co się powtarza. Jaki jest okres? To kluczowe. Liczba cyfr w okresie wpłynie na nasze obliczenia. Pamiętaj, okres to powtarzająca się część ułamka.
Na przykład, jeśli mamy 0,(6), to okres to 6. Jeśli mamy 0,(12), to okres to 12. Zauważ, że (12) to dwie cyfry.
Krok 2: Pomnóż przez potęgę 10
Teraz pomnóż obie strony równania (x = ułamek okresowy) przez 10 podniesione do potęgi równej liczbie cyfr w okresie. Czyli, jeśli okres ma jedną cyfrę, mnożymy przez 10. Jeśli ma dwie cyfry, mnożymy przez 100 (10 do potęgi 2), i tak dalej.
Dlaczego to robimy? Chcemy przesunąć przecinek dziesiętny tak, aby powtarzająca się część ułamka znalazła się przed przecinkiem w nowym równaniu. To pozwoli nam ją później odjąć.
Przykład: Jeśli x = 0,(3), to 10x = 3,(3). Jeśli x = 0,(12), to 100x = 12,(12). Widzisz, jak okres został przesunięty?
Krok 3: Odejmij
Teraz odejmij od większego równania (to, które pomnożyliśmy) mniejsze równanie (x = ułamek okresowy). Spowoduje to zniknięcie okresu, pozostawiając nam liczbę całkowitą.
Przykład: Mamy 10x = 3,(3) i x = 0,(3). Odejmujemy: 10x - x = 3,(3) - 0,(3). To daje nam 9x = 3.
Inny przykład: Mamy 100x = 12,(12) i x = 0,(12). Odejmujemy: 100x - x = 12,(12) - 0,(12). To daje nam 99x = 12.
Krok 4: Rozwiąż równanie
Teraz mamy proste równanie, które możemy rozwiązać. Dzielimy obie strony równania przez współczynnik przy x.
Przykład: Mamy 9x = 3. Dzielimy obie strony przez 9: x = 3/9. Następnie możemy uprościć ułamek: x = 1/3.
Inny przykład: Mamy 99x = 12. Dzielimy obie strony przez 99: x = 12/99. Możemy uprościć ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 3: x = 4/33.
Krok 5: Uprość (jeśli to możliwe)
Na koniec, upewnij się, że Twój ułamek jest w najprostszej postaci. Sprawdź, czy możesz podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę, aby go uprościć.
Na przykład, ułamek 3/9 można uprościć do 1/3. Ułamek 12/99 można uprościć do 4/33. To jest zawsze dobry nawyk, żeby zostawiać wynik w najprostszej formie.
Przykłady
Przejdźmy przez kilka przykładów, żeby to utrwalić!
Przykład 1: Zamień 0,(7) na ułamek zwykły.
- x = 0,(7)
- 10x = 7,(7) (mnożymy przez 10, bo okres to jedna cyfra)
- 10x - x = 7,(7) - 0,(7)
- 9x = 7
- x = 7/9
Przykład 2: Zamień 0,(23) na ułamek zwykły.
- x = 0,(23)
- 100x = 23,(23) (mnożymy przez 100, bo okres to dwie cyfry)
- 100x - x = 23,(23) - 0,(23)
- 99x = 23
- x = 23/99
Przykład 3: Zamień 0,2(5) na ułamek zwykły. To jest trochę trudniejsze, bo mamy cyfrę, która nie wchodzi w okres.
- x = 0,2(5)
- 10x = 2,(5) (mnożymy przez 10, żeby przenieść pierwszą cyfrę przed przecinek)
- 100x = 25,(5) (mnożymy przez 100, żeby przenieść całą powtarzającą się sekwencję przed przecinek)
- 100x - 10x = 25,(5) - 2,(5)
- 90x = 23
- x = 23/90
Podsumowanie
Zamiana ułamka okresowego na zwykły wydaje się skomplikowana, ale tak naprawdę sprowadza się do kilku prostych kroków: zidentyfikuj okres, pomnóż przez odpowiednią potęgę 10, odejmij, rozwiąż równanie i uprość.
Pamiętaj, że kluczem jest zrozumienie, co to jest okres i jak go użyć do pozbycia się nieskończonego powtarzania. Im więcej ćwiczysz, tym łatwiej Ci to pójdzie! Nie bój się eksperymentować z różnymi ułamkami okresowymi. Powodzenia!
