Cześć! Masz problem z zamianą ułamków okresowych na zwykłe? Spokojnie, to nie jest tak trudne, jak się wydaje!
Wyobraź sobie ułamek okresowy jako nieskończonego węża z powtarzającym się wzorem. My nauczymy się, jak tego węża złapać i zamienić w coś prostszego – zwykły ułamek.
Zrozumienie Ułamków Okresowych
Ułamek okresowy, nazywany też ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym, to taki ułamek, w którym po przecinku pewna grupa cyfr powtarza się w nieskończoność. Ta powtarzająca się grupa to okres.
Na przykład, 0,(3) oznacza 0,33333... Trójka powtarza się w nieskończoność.
0,(12) to 0,121212... Dwanaście powtarza się w nieskończoność.
A co z 1,2(5)? To 1,255555... Tylko piątka się powtarza.
Krok po Kroku: Zamiana Ułamka Okresowego na Zwykły
Weźmy na przykład ułamek 0,(3).
Krok 1: Oznacz Ułamek jako X
Zaczynamy od przypisania ułamkowi okresowemu litery X.
Czyli, X = 0,(3).
Krok 2: Pomnóż przez Potęgę 10
Musimy pomnożyć obie strony równania przez potęgę liczby 10. Jaką wybrać? Zależy to od długości okresu.
Jeśli okres ma jedną cyfrę (jak w 0,(3)), mnożymy przez 10.
Jeśli okres ma dwie cyfry (jak w 0,(12)), mnożymy przez 100.
Jeśli okres ma trzy cyfry, mnożymy przez 1000. I tak dalej...
W naszym przypadku, X = 0,(3), więc mnożymy przez 10.
10X = 3,(3) (czyli 3,33333...)
Wyobraź sobie, że przecinek "przesunął się" o jedno miejsce w prawo.
Krok 3: Odejmij Równania
Teraz odejmujemy od nowego równania (10X = 3,(3)) stare równanie (X = 0,(3)).
10X - X = 3,(3) - 0,(3)
9X = 3
Zauważ, że nieskończone części po przecinku zniknęły! To magia matematyki!
Krok 4: Rozwiąż Równanie
Teraz mamy proste równanie: 9X = 3.
Dzielimy obie strony przez 9:
X = 3/9
Krok 5: Uprość Ułamek
Ułamek 3/9 można uprościć. Zarówno 3, jak i 9 dzielą się przez 3.
X = 1/3
Czyli, 0,(3) = 1/3. Voila!
Trudniejsze Przykłady
A co z 1,2(5)? Tutaj musimy wykonać dodatkowy krok.
X = 1,2(5) = 1,25555...
Najpierw mnożymy przez 10, żeby "przesunąć" przecinek za pierwszą cyfrę po przecinku, która się nie powtarza.
10X = 12,(5) = 12,55555...
Teraz mnożymy przez 10 jeszcze raz (czyli łącznie pomnożyliśmy przez 100), bo okres ma jedną cyfrę.
100X = 125,(5) = 125,55555...
Odejmujemy: 100X - 10X = 125,(5) - 12,(5)
90X = 113
X = 113/90
Przykład 1,3(6)
X = 1,3(6) = 1,36666...
Mnożymy przez 10, żeby przesunąć przecinek za pierwszą cyfrę po przecinku, która się nie powtarza.
10X = 13,(6) = 13,66666...
Teraz mnożymy przez 10 jeszcze raz, bo okres ma jedną cyfrę.
100X = 136,(6) = 136,66666...
Odejmujemy: 100X - 10X = 136,(6) - 13,(6)
90X = 123
X = 123/90
Można uprościć, dzieląc licznik i mianownik przez 3: X = 41/30
Wskazówki i Triki
- Zawsze sprawdzaj, czy możesz uprościć ułamek po zamianie.
- Pamiętaj o mnożeniu przez odpowiednią potęgę 10 w zależności od długości okresu.
- Ćwicz! Im więcej ćwiczysz, tym łatwiej to pójdzie.
Pamiętaj, matematyka to jak jazda na rowerze. Na początku może być trudno, ale z czasem staje się łatwiejsze i przyjemniejsze!
Powodzenia!
