Zacznijmy od podstaw. Czym w ogóle jest ułamek okresowy? To ułamek dziesiętny, w którym po przecinku pewna cyfra lub grupa cyfr powtarza się w nieskończoność. To bardzo ważne.
Na przykład, 1/3 zapisana dziesiętnie to 0,3333... Widzimy, że cyfra 3 powtarza się bez końca. Możemy zapisać to krócej jako 0,(3). Nawias oznacza, że cyfra lub cyfry w nawiasie powtarzają się w nieskończoność.
Naszym celem jest zamiana takich ułamków okresowych na ułamki zwykłe, czyli takie w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest różne od zera. Nauczymy się, jak to robić krok po kroku.
Ułamki okresowe proste
Zacznijmy od najprostszego przypadku. Mamy ułamek okresowy, gdzie okres zaczyna się od razu po przecinku, np. 0,(5). Oznacza to 0,5555... .
Oznaczmy nasz ułamek okresowy jako x. Więc x = 0,(5). Pomnóżmy obie strony równania przez 10. Otrzymujemy 10x = 5,(5).
Teraz odejmujemy od 10x nasz pierwotny ułamek x. Czyli 10x - x = 5,(5) - 0,(5). Po lewej stronie mamy 9x, a po prawej 5. Zatem 9x = 5.
Dzielimy obie strony przez 9, aby znaleźć x. Otrzymujemy x = 5/9. Zatem 0,(5) to inaczej 5/9.
Uogólnienie dla prostych ułamków okresowych
Możemy uogólnić tę metodę. Jeżeli mamy ułamek 0,(a), gdzie a to pojedyncza cyfra, to ułamek zwykły będzie miał postać a/9. Na przykład, 0,(7) = 7/9, a 0,(2) = 2/9.
A co, jeśli okres składa się z więcej niż jednej cyfry? Załóżmy, że mamy 0,(12). Oznacza to 0,121212... . Ponownie, oznaczamy to jako x, więc x = 0,(12).
Tym razem mnożymy przez 100 (bo okres ma dwie cyfry). Otrzymujemy 100x = 12,(12). Teraz odejmujemy od 100x nasz pierwotny ułamek x. Czyli 100x - x = 12,(12) - 0,(12).
Po lewej stronie mamy 99x, a po prawej 12. Zatem 99x = 12. Dzielimy obie strony przez 99, aby znaleźć x. Otrzymujemy x = 12/99. Możemy to uprościć do 4/33. Zatem 0,(12) = 4/33.
Ogólnie, jeśli mamy ułamek 0,(ab), gdzie ab to dwie cyfry, to ułamek zwykły będzie miał postać ab/99. Na przykład, 0,(34) = 34/99.
Ułamki okresowe złożone
Teraz przejdźmy do bardziej skomplikowanych przypadków, gdzie mamy cyfry po przecinku, które nie powtarzają się, zanim zacznie się okres. Na przykład, 0,2(3). Oznacza to 0,23333... .
Oznaczmy nasz ułamek jako x. Więc x = 0,2(3). Najpierw mnożymy przez 10, aby przesunąć przecinek tak, aby tuż za nim zaczynał się okres. Otrzymujemy 10x = 2,(3).
Teraz mnożymy jeszcze raz przez 10, aby przesunąć o jedną cyfrę okresu. Otrzymujemy 100x = 23,(3). Odejmujemy 10x od 100x. Czyli 100x - 10x = 23,(3) - 2,(3).
Po lewej stronie mamy 90x, a po prawej 21. Zatem 90x = 21. Dzielimy obie strony przez 90, aby znaleźć x. Otrzymujemy x = 21/90. Możemy to uprościć do 7/30. Zatem 0,2(3) = 7/30.
Uogólnienie dla złożonych ułamków okresowych
Uogólniając, załóżmy, że mamy ułamek 0,a(b), gdzie a i b to cyfry. Wtedy proces wygląda następująco: najpierw mnożymy przez 10, aby otrzymać a,(b). Następnie mnożymy przez 100, aby otrzymać ab,(b). Odejmujemy 10x od 100x. Otrzymujemy 90x = (ab - a). Zatem x = (ab - a) / 90.
Spójrzmy na inny przykład: 0,1(23). Tutaj x = 0,1(23) = 0,1232323... . Najpierw mnożymy przez 10, żeby dostać 1,(23). Następnie mnożymy przez 100, żeby otrzymać 123,(23).
Czyli 1000x = 123,(23) i 10x = 1,(23). Odejmujemy: 1000x - 10x = 123,(23) - 1,(23). Stąd 990x = 122. Dzielimy: x = 122/990. Możemy uprościć do 61/495.
Praktyczne zastosowania
Zamiana ułamków okresowych na zwykłe jest przydatna w wielu sytuacjach. Na przykład, w obliczeniach inżynierskich lub naukowych, gdzie dokładność jest kluczowa. Komputery i kalkulatory często zaokrąglają ułamki okresowe, co może prowadzić do błędów w bardziej złożonych obliczeniach. Użycie ułamka zwykłego zapewnia większą precyzję.
Dodatkowo, operacje na ułamkach zwykłych mogą być łatwiejsze niż na ułamkach dziesiętnych, szczególnie gdy mamy do czynienia z powtarzającymi się cyframi. Dzięki zamianie na ułamki zwykłe możemy bez problemu dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.
Pamiętajmy, że praktyka czyni mistrza! Im więcej przykładów rozwiążesz, tym łatwiej i szybciej będziesz w stanie zamieniać ułamki okresowe na zwykłe. Nie zrażaj się początkowymi trudnościami i ćwicz regularnie.
