Często spotykamy się z liczbami, które po przecinku mają powtarzające się cyfry. Nazywamy je ułamkami okresowymi.
Ułamek okresowy to taki ułamek dziesiętny, w którym od pewnego miejsca po przecinku cyfra lub grupa cyfr powtarza się w nieskończoność. Na przykład 0,(3) czy 1,2(45).
Czasem potrzebujemy zamienić taki ułamek na zwykły. Zamiana ułamka okresowego na zwykły jest prostym procesem, który możemy opanować krok po kroku.
Ułamek okresowy prosty
Ułamek okresowy prosty to taki, w którym okres zaczyna się bezpośrednio po przecinku. Na przykład 0,(3), 0,(12) czy 0,(142857).
Krok 1: Oznaczmy nasz ułamek okresowy jako x. Na przykład, jeśli chcemy zamienić 0,(3) na ułamek zwykły, napiszmy: x = 0,(3).
Krok 2: Pomnóżmy obie strony równania przez 10, 100, 1000, itd., tak aby okres znalazł się przed przecinkiem. W naszym przykładzie mamy jedną cyfrę w okresie (3), więc mnożymy przez 10: 10x = 3,(3).
Krok 3: Odejmijmy od wyniku naszego mnożenia początkowe równanie (x = 0,(3)). W ten sposób pozbędziemy się okresu. W naszym przykładzie: 10x - x = 3,(3) - 0,(3). To daje nam 9x = 3.
Krok 4: Rozwiążmy powstałe równanie. W naszym przykładzie, dzielimy obie strony przez 9: x = 3/9. Upraszczając ułamek, otrzymujemy x = 1/3. Zatem 0,(3) = 1/3.
Przykład 1: Zamiana 0,(7) na ułamek zwykły
x = 0,(7). Mamy jedną cyfrę w okresie. Mnożymy przez 10: 10x = 7,(7). Odejmujemy początkowe równanie: 10x - x = 7,(7) - 0,(7). Czyli 9x = 7. Dzielimy przez 9: x = 7/9. Zatem 0,(7) = 7/9.
Przykład 2: Zamiana 0,(23) na ułamek zwykły
x = 0,(23). Mamy dwie cyfry w okresie. Mnożymy przez 100: 100x = 23,(23). Odejmujemy początkowe równanie: 100x - x = 23,(23) - 0,(23). Czyli 99x = 23. Dzielimy przez 99: x = 23/99. Zatem 0,(23) = 23/99.
Przykład 3: Zamiana 0,(148) na ułamek zwykły
x = 0,(148). Mamy trzy cyfry w okresie. Mnożymy przez 1000: 1000x = 148,(148). Odejmujemy początkowe równanie: 1000x - x = 148,(148) - 0,(148). Czyli 999x = 148. Dzielimy przez 999: x = 148/999. Zatem 0,(148) = 148/999.
Ułamek okresowy mieszany
Ułamek okresowy mieszany to taki, w którym po przecinku występują cyfry, które się nie powtarzają, a następnie zaczyna się okres. Na przykład 0,1(6) czy 2,34(5).
Krok 1: Oznaczmy nasz ułamek okresowy jako x. Na przykład, jeśli chcemy zamienić 0,1(6) na ułamek zwykły, napiszmy: x = 0,1(6).
Krok 2: Pomnóżmy obie strony równania przez 10, 100, 1000, itd., tak aby okres znalazł się bezpośrednio po przecinku. W naszym przykładzie, mnożymy przez 10: 10x = 1,(6).
Krok 3: Teraz mnożymy obie strony równania (10x = 1,(6)) jeszcze raz, ale tym razem tak, aby cały okres znalazł się przed przecinkiem. Mamy jedną cyfrę w okresie (6), więc mnożymy przez 10: 100x = 16,(6).
Krok 4: Odejmijmy od wyniku drugiego mnożenia (100x) wynik pierwszego mnożenia (10x). W ten sposób pozbędziemy się okresu. W naszym przykładzie: 100x - 10x = 16,(6) - 1,(6). To daje nam 90x = 15.
Krok 5: Rozwiążmy powstałe równanie. W naszym przykładzie, dzielimy obie strony przez 90: x = 15/90. Upraszczając ułamek, otrzymujemy x = 1/6. Zatem 0,1(6) = 1/6.
Przykład 1: Zamiana 0,2(5) na ułamek zwykły
x = 0,2(5). Mnożymy przez 10: 10x = 2,(5). Następnie mnożymy przez 10 ponownie: 100x = 25,(5). Odejmujemy: 100x - 10x = 25,(5) - 2,(5). Czyli 90x = 23. Dzielimy przez 90: x = 23/90. Zatem 0,2(5) = 23/90.
Przykład 2: Zamiana 1,23(4) na ułamek zwykły
x = 1,23(4). Mnożymy przez 100: 100x = 123,(4). Następnie mnożymy przez 10 ponownie: 1000x = 1234,(4). Odejmujemy: 1000x - 100x = 1234,(4) - 123,(4). Czyli 900x = 1111. Dzielimy przez 900: x = 1111/900. Możemy wyciągnąć całości: x = 1 211/900. Zatem 1,23(4) = 1111/900.
Zamiana ułamków okresowych na zwykłe jest bardzo przydatna w matematyce, fizyce, a także w życiu codziennym, np. podczas obliczeń finansowych czy mierzenia różnych wartości.
Pamiętajmy, że kluczem do sukcesu jest zrozumienie, jak pozbyć się okresu poprzez odpowiednie mnożenie i odejmowanie. Po opanowaniu tych kroków, zamiana ułamków okresowych na zwykłe stanie się prosta i intuicyjna.
