Zastanawialiście się kiedyś, jak obliczyć sumę kątów wewnętrznych w figurach geometrycznych?
Dzisiaj zajmiemy się wzorami na kąty wewnętrzne wielokąta foremnego. Będziemy patrzeć na to wizualnie, żeby było łatwiej.
Wielokąt foremny – co to takiego?
Wyobraź sobie plaster miodu. Te sześciokąty są prawie idealne, prawda?
Wielokąt foremny to figura, która ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równe.
Na przykład: kwadrat. Wszystkie boki są takie same, i każdy kąt ma 90 stopni.
Inny przykład to trójkąt równoboczny. Trzy równe boki i trzy kąty po 60 stopni.
Im więcej boków, tym bardziej wielokąt foremny przypomina koło. Pomyśl o znaczku stop – to ośmiokąt!
Trójkąt – nasz punkt wyjścia
Najprostszy wielokąt to trójkąt.
Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180 stopni. Zawsze. Bez względu na jego kształt.
Wyobraź sobie, że masz trójkąt. Możesz go pociąć na trzy kawałki (kąty) i ułożyć te kawałki obok siebie. Zawsze ułożą się w linię prostą, czyli w kąt 180 stopni.
Kwadrat i prostokąt
Teraz kwadrat. Cztery równe kąty proste.
Każdy kąt prosty ma 90 stopni. Mamy cztery takie kąty, więc 4 * 90 = 360 stopni.
A co z prostokątem? Ma też cztery kąty proste, więc suma jego kątów wewnętrznych też wynosi 360 stopni.
Podział na trójkąty – klucz do sukcesu
Teraz zaczyna się robić ciekawie. Spróbujemy podzielić inne wielokąty foremne na trójkąty.
Weźmy pięciokąt foremny. Możemy narysować linie z jednego wierzchołka do wszystkich pozostałych, oprócz tych, które są obok niego.
W ten sposób podzielimy pięciokąt na trzy trójkąty. Wiemy, że każdy trójkąt ma 180 stopni. Więc suma kątów w pięciokącie to 3 * 180 = 540 stopni.
Zauważ, że wybraliśmy jeden wierzchołek i rysowaliśmy linie do pozostałych. Nie rysowaliśmy linii do wierzchołków sąsiednich, bo byśmy nie tworzyli trójkątów.
Sześciokąt foremny
Podobna sytuacja z sześciokątem foremnym. Wybieramy jeden wierzchołek i rysujemy linie do pozostałych.
Ile trójkątów otrzymamy? Cztery! Zatem suma kątów wewnętrznych sześciokąta to 4 * 180 = 720 stopni.
Uogólnienie – wzór na sumę kątów
Widzimy pewną zależność. Liczba trójkątów jest zawsze o 2 mniejsza od liczby boków wielokąta.
Jeśli n to liczba boków wielokąta, to liczba trójkątów wynosi n - 2.
A ponieważ każdy trójkąt ma 180 stopni, to suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach wynosi: (n - 2) * 180 stopni.
To jest nasz wzór!
Przykłady
Sprawdźmy, czy to działa. Dla kwadratu (n = 4) mamy (4 - 2) * 180 = 2 * 180 = 360 stopni. Zgadza się!
Dla pięciokąta (n = 5) mamy (5 - 2) * 180 = 3 * 180 = 540 stopni. Też się zgadza!
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego
Skoro wiemy, jak obliczyć sumę wszystkich kątów, to jak obliczyć miarę jednego kąta w wielokącie foremnym?
Pamiętaj, że wielokąt foremny ma wszystkie kąty równe.
Wystarczy więc podzielić sumę kątów przez liczbę boków (czyli liczbę kątów).
Wzór na jeden kąt wewnętrzny wielokąta foremnego o n bokach to: [(n - 2) * 180] / n.
Przykład
Dla kwadratu (n = 4) mamy [(4 - 2) * 180] / 4 = (2 * 180) / 4 = 360 / 4 = 90 stopni. Tak jak powinno być!
Dla trójkąta równobocznego (n = 3) mamy [(3 - 2) * 180] / 3 = (1 * 180) / 3 = 180 / 3 = 60 stopni. Super!
Podsumowanie
Zapamiętaj:
- Suma kątów wewnętrznych wielokąta: (n - 2) * 180 stopni
- Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego: [(n - 2) * 180] / n stopni
Pamiętaj o wizualizacji – dzielenie na trójkąty. To upraszcza wszystko!
Teraz możesz obliczyć kąty w każdej figurze! Powodzenia!
