Zacznijmy od zrozumienia, co to są wzory Viete'a. Są to proste, ale potężne zależności między współczynnikami wielomianu a jego pierwiastkami. Skupimy się tutaj na wielomianach drugiego stopnia, czyli na funkcjach kwadratowych, ponieważ są one najczęściej spotykane i najłatwiejsze do opanowania na początek.
Funkcja Kwadratowa i jej Pierwiastki
Ogólna postać funkcji kwadratowej to f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0. Pierwiastki tej funkcji to wartości x, dla których f(x) = 0. Inaczej mówiąc, są to miejsca, w których parabola przecina oś x. Oznaczamy je zazwyczaj jako x1 i x2.
Równanie Kwadratowe
Żeby znaleźć pierwiastki funkcji kwadratowej, musimy rozwiązać równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0. Najbardziej znaną metodą jest obliczenie delty (Δ), która wynosi Δ = b2 - 4ac. Następnie, w zależności od znaku delty, mamy trzy możliwości:
- Δ > 0: Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, które obliczamy ze wzorów: x1 = (-b - √Δ) / (2a) i x2 = (-b + √Δ) / (2a).
- Δ = 0: Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (pierwiastek podwójny), który obliczamy ze wzoru: x1 = x2 = -b / (2a).
- Δ < 0: Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki zespolone). W tym artykule skupimy się na przypadkach, gdy pierwiastki są rzeczywiste.
Wzory Viete'a dla Funkcji Kwadratowej
Teraz przejdźmy do sedna – do wzorów Viete'a. Dla funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c o pierwiastkach x1 i x2 (zakładając, że takie istnieją) wzory Viete'a przyjmują następującą postać:
- Suma pierwiastków: x1 + x2 = -b / a
- Iloczyn pierwiastków: x1 * x2 = c / a
Te dwa proste wzory pozwalają nam wyznaczyć sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego bez konieczności ich obliczania! Jest to bardzo przydatne w wielu zadaniach.
Przykład 1
Rozważmy równanie kwadratowe x2 - 5x + 6 = 0. Mamy tutaj a = 1, b = -5 i c = 6. Zatem:
- x1 + x2 = -(-5) / 1 = 5
- x1 * x2 = 6 / 1 = 6
Możemy łatwo sprawdzić, że pierwiastkami tego równania są x1 = 2 i x2 = 3. Rzeczywiście, 2 + 3 = 5 i 2 * 3 = 6. Wzory Viete'a się sprawdziły!
Przykład 2
Weźmy równanie 2x2 + 8x - 10 = 0. Tutaj a = 2, b = 8 i c = -10. Zatem:
- x1 + x2 = -8 / 2 = -4
- x1 * x2 = -10 / 2 = -5
Pierwiastkami tego równania są x1 = 1 i x2 = -5. Sprawdźmy: 1 + (-5) = -4 i 1 * (-5) = -5. Ponownie, wszystko się zgadza.
Zastosowania Wzorów Viete'a
Wzory Viete'a mają wiele praktycznych zastosowań. Oto kilka z nich:
- Sprawdzanie poprawności obliczeń pierwiastków. Po obliczeniu pierwiastków równania kwadratowego, możemy szybko sprawdzić, czy dobrze je wyznaczyliśmy, obliczając ich sumę i iloczyn i porównując je z wartościami wynikającymi ze wzorów Viete'a.
- Wyznaczanie jednego pierwiastka, znając drugi. Jeśli znamy jeden pierwiastek równania kwadratowego, możemy, korzystając ze wzorów Viete'a, obliczyć drugi pierwiastek.
- Budowanie równania kwadratowego o zadanych pierwiastkach. Jeśli mamy podane dwa liczby, które mają być pierwiastkami równania kwadratowego, możemy użyć wzorów Viete'a do znalezienia współczynników tego równania. Na przykład, jeśli chcemy znaleźć równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są x1 = 4 i x2 = -1, to wiemy, że x1 + x2 = 3 i x1 * x2 = -4. Zatem, równanie to ma postać x2 - 3x - 4 = 0. (Pamiętajmy, że x1 + x2 = -b/a, czyli b = -a(x1 + x2) oraz x1 * x2 = c/a, czyli c = a(x1 * x2). Przyjmując a=1 otrzymujemy b=-3 oraz c=-4).
- Upraszczanie wyrażeń algebraicznych. W niektórych zadaniach algebraicznych, znajomość wzorów Viete'a pozwala na uproszczenie skomplikowanych wyrażeń, w których występują sumy i iloczyny pierwiastków.
Podsumowanie
Wzory Viete'a to potężne narzędzie, które warto znać, rozwiązując zadania związane z funkcją kwadratową. Umożliwiają one szybkie i łatwe wyznaczanie sumy i iloczynu pierwiastków, sprawdzanie poprawności obliczeń oraz budowanie równań kwadratowych o zadanych własnościach. Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest praktyka, więc rozwiąż jak najwięcej zadań, aby dobrze opanować te wzory.
