Cześć Ósmoklasisto! Egzamin tuż tuż? Nie martw się! Pokażę Ci wzory, które musisz znać. Zrobię to tak, żebyś wszystko zobaczył i zrozumiał. Będzie łatwo, obiecuję!
Potęgi i Pierwiastki: Mocne Fundamenty
Potęgi to jak mnożenie w skrócie. Wyobraź sobie kostkę Rubika. Ma 3 warstwy, każda po 3 rzędy i 3 kolumny. Czyli 3 * 3 * 3. Zapisujemy to jako 33. To jest 3 do potęgi 3.
an - "a" to podstawa, a "n" to wykładnik. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę przez siebie.
Kiedy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Jak puzzle! Mamy dwa puzzle z takimi samymi elementami. Układamy je razem. Liczba elementów (wykładnik) się zwiększa!
Przykład: 22 * 23 = 2(2+3) = 25
Dzielenie potęg to odwrotność. Odejmujemy wykładniki. Z puzzli zabieramy kilka elementów.
Przykład: 54 / 52 = 5(4-2) = 52
Potęga potęgi? Mnożymy wykładniki. Wyobraź sobie pudełko z pudełkami, w każdym pudełku są jeszcze inne. Liczbę we wszystkich pudełkach liczymy, mnożąc ilość pudełek na każdym poziomie.
Przykład: (32)3 = 3(2*3) = 36
Pierwiastki to jak szukanie podstawy potęgi. Pierwiastek kwadratowy z 9 to liczba, która pomnożona przez siebie daje 9. To 3! √9 = 3.
√a - symbol pierwiastka kwadratowego z liczby "a".
3√a - symbol pierwiastka sześciennego z liczby "a".
Jeśli masz iloczyn pod pierwiastkiem, możesz rozdzielić pierwiastek na czynniki.
Przykład: √ (4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6
Wzory Skróconego Mnożenia: Szybkie Liczenie
To triki, które pomagają szybciej obliczać niektóre wyrażenia. Wyobraź sobie, że pieczesz ciasto. Zamiast dodawać składniki po kolei, używasz gotowej mieszanki. Wzory skróconego mnożenia to takie mieszanki.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Kwadrat sumy. Pamiętaj o podwójnym iloczynie! Wyobraź sobie kwadrat o boku (a+b). Składa się z kwadratu o boku "a", kwadratu o boku "b" i dwóch prostokątów o bokach "a" i "b".
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 - Kwadrat różnicy. Podobnie jak wyżej, ale odejmujemy. Z kwadratu o boku "a" wycinamy kwadrat o boku "b".
(a + b)(a - b) = a2 - b2 - Różnica kwadratów. To najprostszy wzór. Mamy dwa wyrażenia: (a+b) i (a-b). Mnożąc je, otrzymujemy różnicę kwadratów.
Figury Geometryczne: Widzisz - Rozumiesz
Geometria to nauka o kształtach. Potrzebujesz wzorów na pola i obwody. Wyobraź sobie, że malujesz pokój. Musisz wiedzieć, ile farby potrzebujesz (pole) i ile listew przypodłogowych kupić (obwód).
Kwadrat:
Pole: P = a2 (bok * bok). Wyobraź sobie kwadratową czekoladę. Policz kwadraciki, a dowiesz się, ile ma pola.
Obwód: O = 4a (4 * bok). Suma długości wszystkich boków.
Prostokąt:
Pole: P = a * b (długość * szerokość). Jak kwadrat, ale boki są różne.
Obwód: O = 2a + 2b (2 * długość + 2 * szerokość).
Trójkąt:
Pole: P = (a * h) / 2 (podstawa * wysokość) / 2. Połowa prostokąta!
Obwód: O = a + b + c (suma długości wszystkich boków).
Równoległobok:
Pole: P = a * h (podstawa * wysokość).
Obwód: O = 2a + 2b (2 * długość boku a + 2 * długość boku b).
Trapez:
Pole: P = ((a + b) * h) / 2 ((dłuższa podstawa + krótsza podstawa) * wysokość) / 2.
Obwód: O = a + b + c + d (suma długości wszystkich boków).
Koło:
Pole: P = πr2 (π * promień2). Wyobraź sobie pizzę. Im większy promień, tym większa pizza.
Obwód (długość okręgu): O = 2πr (2 * π * promień).
Bryły Geometryczne: Przestrzeń Ma Znaczenie
Teraz trójwymiarowo! Liczymy objętość (ile się zmieści) i pole powierzchni (ile trzeba pomalować).
Prostopadłościan:
Objętość: V = a * b * c (długość * szerokość * wysokość). Wyobraź sobie pudełko. Objętość to ilość miejsca w środku.
Pole powierzchni: P = 2ab + 2bc + 2ac (suma pól wszystkich ścian).
Sześcian:
Objętość: V = a3 (bok3).
Pole powierzchni: P = 6a2 (6 * bok2).
Graniastosłup:
Objętość: V = Pp * h (pole podstawy * wysokość).
Ostrosłup:
Objętość: V = (1/3) * Pp * h (1/3 * pole podstawy * wysokość).
Walec:
Objętość: V = πr2h (π * promień2 * wysokość).
Pole powierzchni: P = 2πr2 + 2πrh (2 * π * promień2 + 2 * π * promień * wysokość).
Stożek:
Objętość: V = (1/3)πr2h (1/3 * π * promień2 * wysokość).
Kula:
Objętość: V = (4/3)πr3 (4/3 * π * promień3).
Pole powierzchni: P = 4πr2 (4 * π * promień2).
Układ Współrzędnych: Mapa Matematyczna
Wyobraź sobie mapę. Układ współrzędnych to taka mapa dla matematyki. Mamy dwie osie: poziomą (x) i pionową (y). Punkt opisujemy dwoma liczbami: (x, y).
Długość odcinka: Mając dwa punkty A(x1, y1) i B(x2, y2), długość odcinka AB liczymy ze wzoru:
|AB| = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
Po prostu odejmujemy współrzędne i stosujemy twierdzenie Pitagorasa!
Kilka Ważnych Przypomnień
Pamiętaj o jednostkach! Metry, centymetry, milimetry - pilnuj, żeby wszystko było w tych samych jednostkach.
π (pi) to około 3,14. Używaj tej wartości, jeśli w zadaniu nie podano innej.
Teraz możesz śmiało iść na egzamin. Pamiętaj, wzory to tylko narzędzia. Najważniejsze to rozumieć, co robisz! Powodzenia!
