Zacznijmy od podstaw. Potęga to sposób na zapisanie mnożenia liczby przez samą siebie. Mamy liczbę, którą mnożymy (podstawa potęgi) i liczbę, która mówi nam, ile razy mamy ją pomnożyć (wykładnik potęgi).
Zapisujemy to jako an. "a" to podstawa, a "n" to wykładnik. Na przykład, 23 oznacza 2 * 2 * 2, co daje 8.
Mnożenie Potęg o Tej Samej Podstawie
Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Wyobraź sobie, że masz 22 * 23. To tak, jakbyś miał (2*2) * (2*2*2). W sumie masz pięć dwójek pomnożonych przez siebie, czyli 25.
Wzór ogólny wygląda tak: am * an = am+n. Zobaczmy przykład: 54 * 52 = 54+2 = 56. Czyli mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki.
Uproszczenie obliczeń jest ogromne. Zamiast liczyć 54 i 52 oddzielnie, a potem mnożyć wyniki, od razu dostajemy 56.
Dzielenie Potęg o Tej Samej Podstawie
Dzielenie potęg o tej samej podstawie to operacja odwrotna do mnożenia. Tym razem odejmujemy wykładniki. Jeśli masz 35 / 32, to tak, jakbyś miał (3*3*3*3*3) / (3*3). Dwie trójki się skracają i zostaje 33.
Wzór ogólny wygląda tak: am / an = am-n (gdzie a ≠ 0). Pamiętajmy, że podstawa nie może być zerem, bo dzielenie przez zero nie jest możliwe. Przykład: 78 / 73 = 78-3 = 75.
Ponownie oszczędzamy czas. Zamiast dzielić duże liczby, odejmujemy wykładniki.
Potęgowanie Potęgi
Co się dzieje, gdy potęgujemy potęgę? Czyli mamy (am)n. W takim przypadku mnożymy wykładniki. Wyobraź sobie, że masz (23)2. To znaczy, że masz 23 pomnożone przez siebie dwa razy, czyli 23 * 23. A to, jak już wiemy, daje 23+3 = 26.
Ogólny wzór: (am)n = am*n. Przykład: (42)3 = 42*3 = 46. Potęgowanie potęgi sprowadza się do pomnożenia wykładników.
Pozwala to uniknąć wielokrotnego obliczania potęg. Zamiast liczyć potęgę wewnętrzną, a potem potęgować wynik, od razu mnożymy wykładniki.
Potęgowanie Iloczynu
Gdy potęgujemy iloczyn dwóch liczb, każdą z tych liczb podnosimy do tej potęgi oddzielnie. Jeśli mamy (a * b)n, to jest to to samo co an * bn. Wyobraź sobie, że masz (2 * 3)2. To jest to samo co 62, czyli 36. Ale możemy też obliczyć to jako 22 * 32 = 4 * 9 = 36.
Wzór: (a * b)n = an * bn. Przykład: (5 * 2)3 = 53 * 23 = 125 * 8 = 1000. Potęgowanie iloczynu to potęgowanie każdego czynnika oddzielnie.
Ułatwia to obliczenia, zwłaszcza gdy mamy do czynienia z liczbami, które łatwo podnieść do danej potęgi. Rozdzielamy potęgowanie na mniejsze, prostsze kroki.
Potęgowanie Ilorazu
Podobnie jak z iloczynem, gdy potęgujemy iloraz dwóch liczb, każdą z tych liczb podnosimy do tej potęgi oddzielnie. Jeśli mamy (a / b)n, to jest to to samo co an / bn (gdzie b ≠ 0). Pamiętaj, że mianownik nie może być zerem.
Wzór: (a / b)n = an / bn (gdzie b ≠ 0). Przykład: (6 / 2)2 = 62 / 22 = 36 / 4 = 9. Potęgowanie ilorazu to potęgowanie licznika i mianownika oddzielnie.
To upraszcza obliczenia, zwłaszcza gdy mamy ułamki, które łatwo podnieść do danej potęgi. Rozdzielamy potęgowanie na licznik i mianownik.
Potęga o Wykładniku Zerowym
Dowolna liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje 1. a0 = 1 (dla a ≠ 0). Wynika to z zasady dzielenia potęg. Weźmy an / an. Z jednej strony, to jest równe 1. Z drugiej strony, zgodnie z zasadą dzielenia potęg, to jest równe an-n = a0. Zatem a0 musi być równe 1.
Przykład: 50 = 1, 1000 = 1, (-2)0 = 1. Wyjątkiem jest 00, które jest nieokreślone.
Pamiętaj o tej zasadzie, ponieważ często się przydaje przy upraszczaniu wyrażeń.
Potęga o Wykładniku Ujemnym
Liczba podniesiona do potęgi ujemnej to odwrotność tej liczby podniesionej do potęgi o wartości bezwzględnej tego wykładnika. a-n = 1 / an (gdzie a ≠ 0). Na przykład, 2-3 to to samo co 1 / 23, czyli 1 / 8.
Przykład: 3-2 = 1 / 32 = 1 / 9. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim.
To pozwala nam operować na ułamkach w bardziej elegancki sposób, używając potęg ujemnych.
Podsumowanie Wzorów:
- am * an = am+n
- am / an = am-n (a ≠ 0)
- (am)n = am*n
- (a * b)n = an * bn
- (a / b)n = an / bn (b ≠ 0)
- a0 = 1 (a ≠ 0)
- a-n = 1 / an (a ≠ 0)
Pamiętaj o tych wzorach! Zrozumienie ich i umiejętność ich stosowania znacznie ułatwi rozwiązywanie zadań z potęgami.
