Witajcie przyszli ósmoklasiści! Przed nami ważny egzamin, a jednym z kluczy do sukcesu jest znajomość wzorów. Ale spokojnie, nie musicie się ich bać! Zamiast uczyć się na pamięć, spróbujmy je zrozumieć. Wyobraźcie sobie, że każdy wzór to przepis na pyszne danie. Potrzebujecie składników i dokładnej instrukcji. Zaczynamy!
Potęgi i Pierwiastki
Potęgi – to nic innego jak skrócony zapis mnożenia. 23 znaczy 2 * 2 * 2. Proste, prawda?
Wyobraźcie sobie, że macie kostkę Rubika. Każda krawędź ma długość 3 cm. Objętość tej kostki, to 3 * 3 * 3, czyli 33, co daje 27 cm3.
Działania na potęgach
Jeśli mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Na przykład, 22 * 23 = 2(2+3) = 25.
Pomyślcie o tym jak o układaniu klocków. Najpierw macie 22, czyli 4 klocki. Potem dokładacie 23, czyli 8 klocków. Razem macie 32 klocki, a to jest właśnie 25.
Dzielenie potęg o tej samej podstawie? Odejmujemy wykładniki! 54 / 52 = 5(4-2) = 52.
Wyobraźcie sobie tort. Kroicie go na 54 kawałków. Potem zjadacie 52 kawałków. Ile kawałków Wam zostaje? 52!
Pierwiastki – to przeciwieństwo potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z 9, czyli √9, to liczba, która pomnożona przez samą siebie da 9. W tym przypadku, to 3.
Pomyślcie o tym jak o szukaniu boku kwadratu. Jeśli pole kwadratu wynosi 9 cm2, to jaki jest bok? Pierwiastek z 9!
Wzory Skróconego Mnożenia
Te wzory mogą wydawać się skomplikowane, ale kryją w sobie pewną logikę. Ułatwiają obliczenia.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Wyobraźcie sobie kwadrat o boku (a + b). Można go podzielić na cztery mniejsze figury: kwadrat o boku a, kwadrat o boku b i dwa prostokąty o bokach a i b. Suma pól tych figur to właśnie a2 + 2ab + b2.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Podobna sytuacja, tylko tym razem odejmujemy pewien obszar. Wyobraźcie sobie kwadrat o boku a, z którego wycinamy kwadrat o boku b w jednym rogu. Wzór ten pozwala obliczyć pole pozostałej figury.
(a + b)(a - b) = a2 - b2
To wzór na różnicę kwadratów. Pomyślcie o układance. Mamy prostokąt o bokach (a+b) i (a-b). Możemy go przekształcić w kwadrat o boku a, z którego wycięto kwadrat o boku b.
Geometria
Geometria jest wszędzie! Otacza nas kształtami i figurami. Ważne jest, aby umieć obliczać ich pola i obwody.
Pole i obwód kwadratu
Kwadrat ma wszystkie boki równe. Jeśli bok ma długość a, to pole kwadratu wynosi a2, a obwód 4a.
Pomyślcie o ramce na zdjęcie. Jeśli bok ramki ma 10 cm, to powierzchnia zdjęcia, które zmieści się w ramce, to 10 * 10 = 100 cm2. A długość całej ramki to 4 * 10 = 40 cm.
Pole i obwód prostokąta
Prostokąt ma boki parami równe. Jeśli boki mają długości a i b, to pole prostokąta wynosi a * b, a obwód 2a + 2b.
Wyobraźcie sobie dywan w pokoju. Ma długość 3 metry i szerokość 2 metry. Powierzchnia dywanu to 3 * 2 = 6 m2. A długość taśmy, którą trzeba użyć do obszycia dywanu to 2 * 3 + 2 * 2 = 10 metrów.
Pole trójkąta
Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości. P = (a * h) / 2.
Wyobraźcie sobie kawałek pizzy. Ma kształt trójkąta. Jeśli podstawa kawałka ma 20 cm, a wysokość 15 cm, to powierzchnia kawałka pizzy to (20 * 15) / 2 = 150 cm2.
Pole koła
Pole koła zależy od promienia (r). P = πr2. Pamiętajcie, że π (pi) to w przybliżeniu 3,14.
Pomyślcie o pizzy. Jeśli średnica pizzy wynosi 30 cm, to promień wynosi 15 cm. Pole pizzy to 3,14 * 152 = około 706,5 cm2.
Obwód koła
Obwód koła to długość okręgu. Obwód = 2πr.
Wyobraźcie sobie, że chcecie zrobić koronkę wokół okrągłego obrusu. Jeśli promień obrusu wynosi 50 cm, to długość koronki, której potrzebujecie to 2 * 3,14 * 50 = około 314 cm.
Bryły Geometryczne
Bryły to figury w 3D! Najważniejsze to objętość i pole powierzchni.
Objętość prostopadłościanu
Prostopadłościan ma trzy wymiary: długość (a), szerokość (b) i wysokość (c). Objętość to V = a * b * c.
Pomyślcie o pudełku na buty. Jeśli ma wymiary 30 cm x 20 cm x 10 cm, to jego objętość wynosi 30 * 20 * 10 = 6000 cm3.
Objętość sześcianu
Sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu, gdzie wszystkie krawędzie są równe. Objętość to V = a3.
Wyobraźcie sobie kostkę Rubika. Jeśli każda krawędź ma długość 5 cm, to objętość kostki to 5 * 5 * 5 = 125 cm3.
Pamiętajcie, wzory to narzędzia. Im lepiej je poznacie, tym łatwiej będzie Wam rozwiązywać zadania na egzaminie. Powodzenia!
