Cześć! Zajmiemy się dzisiaj czymś, co wygląda strasznie, ale wcale takie nie jest: Wzorami Skróconego Mnożenia do Potęgi 3.
Spróbujemy je rozgryźć krok po kroku, tak, żeby były jasne i zrozumiałe.
Kluczowe wzory
Mamy dwa główne wzory do opanowania:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Wyglądają podobnie, prawda? Różnią się tylko znakami! Zwróć na to uwagę.
Pierwszy wzór: (a + b)3
Wyobraź sobie, że masz kostkę Rubika. Nie jedną ściankę, ale całą kostkę! Każda krawędź tej kostki ma długość (a + b).
Czyli cała objętość tej kostki to właśnie (a + b)3.
Jak możemy ją podzielić na mniejsze części, żeby zobaczyć, skąd biorą się te składniki we wzorze?
a3: To duża kostka o boku 'a'. Masz ją w rogu dużej kostki (a + b)3.
b3: To mała kostka o boku 'b'. Jest w przeciwległym rogu dużej kostki.
3a2b: To trzy prostopadłościany. Każdy z nich ma wymiary a x a x b. Wyobraź sobie, że to takie "płytki" przylegające do ściany dużej kostki 'a3'.
3ab2: To kolejne trzy prostopadłościany. Mają wymiary a x b x b. To takie "płytki" przylegające do ściany małej kostki 'b3'.
Dodając objętości wszystkich tych części (kostki a3, kostki b3, trzech prostopadłościanów a2b i trzech prostopadłościanów ab2), otrzymujemy objętość całej kostki (a + b)3. To właśnie ten wzór!
Drugi wzór: (a - b)3
Teraz trochę trudniej. Wyobraź sobie znowu kostkę o boku 'a'. Ale chcemy obliczyć objętość, gdy od kostki 'a' odejmiemy kostkę 'b'.
W tym przypadku odejmujemy coś od czegoś.
a3: To nasza wyjściowa kostka o boku 'a'.
- 3a2b: Odejmujemy trzy "płytki" o wymiarach a x a x b od ścian kostki 'a'. To tak, jakbyśmy ścinali kawałki kostki. Dlatego mamy minus.
+ 3ab2: Dodajemy trzy "płytki" o wymiarach a x b x b. Dlaczego dodajemy? Bo odejmując te "płytki" a2b, za dużo usunęliśmy, więc musimy trochę dodać.
- b3: Odejmujemy kostkę o boku 'b'. To ten mały kawałek, który na końcu trzeba usunąć.
Tu kluczowe jest zrozumienie, że odejmując, musimy czasem dodać coś z powrotem, żeby wynik był poprawny. To jak z wycinaniem ciasta - jeśli za dużo wytniesz, to musisz dodać z powrotem, żeby miało odpowiedni kształt.
Przykłady
Spójrzmy na kilka przykładów.
(x + 2)3 = x3 + 3 * x2 * 2 + 3 * x * 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Zauważ, jak podstawiamy 'x' za 'a' i '2' za 'b' we wzorze (a + b)3.
Teraz coś z minusem:
(y - 1)3 = y3 - 3 * y2 * 1 + 3 * y * 12 - 13 = y3 - 3y2 + 3y - 1
Podstawiamy 'y' za 'a' i '1' za 'b' we wzorze (a - b)3. Pamiętaj o znakach!
Jak zapamiętać wzory?
Są na to sposoby!
- Ćwicz! Im więcej przykładów rozwiążesz, tym łatwiej zapamiętasz wzory.
- Zapisz! Zapisz wzory na kartce i powieś w widocznym miejscu. Patrz na nie codziennie.
- Użyj wizualizacji! Wyobraź sobie te kostki, o których mówiliśmy. To pomaga!
- Znajdź zależności! Zauważ, że współczynniki (1, 3, 3, 1) w obu wzorach są takie same (tylko znaki się zmieniają). To wynika z trójkąta Pascala, ale to już inna historia.
Gdzie to się przydaje?
Wzory skróconego mnożenia do potęgi 3 przydają się w wielu miejscach w matematyce:
- Upraszczanie wyrażeń algebraicznych.
- Rozwiązywanie równań.
- Obliczanie objętości i pól powierzchni.
- W fizyce (np. przy obliczeniach związanych z ruchem).
Nawet jeśli teraz wydaje Ci się to trudne, z czasem zobaczysz, jak bardzo są użyteczne!
Podsumowanie
Wzory skróconego mnożenia do potęgi 3 to:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Pamiętaj o wizualizacji z kostkami i o ćwiczeniach. Powodzenia!
