Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii? Super! Skupimy się na wzorze na wysokość w trójkącie równobocznym. To proste, damy radę!
Czym jest trójkąt równoboczny?
Trójkąt równoboczny to taki trójkąt, który ma wszystkie trzy boki równe.
Co to oznacza? Że jeśli jeden bok ma długość a, to pozostałe dwa też mają długość a. Proste?
Dodatkowo, wszystkie kąty w trójkącie równobocznym są równe i wynoszą 60 stopni.
Co to jest wysokość trójkąta?
Wysokość to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i jest do tego boku prostopadły.
Czyli tworzy kąt prosty (90 stopni) z tym bokiem.
W trójkącie równobocznym wysokość dzieli podstawę na dwie równe części. To bardzo ważne!
Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym
Gotowy? To teraz najważniejsze: wzór na wysokość (h) w trójkącie równobocznym o boku a:
h = (a√3) / 2
Zapamiętaj to! h to wysokość, a to długość boku trójkąta.
Jak korzystać ze wzoru?
Załóżmy, że mamy trójkąt równoboczny o boku a = 4.
Chcemy obliczyć jego wysokość (h).
Podstawiamy wartość a do wzoru: h = (4√3) / 2.
Upraszczamy: h = 2√3.
Więc wysokość tego trójkąta wynosi 2√3.
Kiedy używać tego wzoru?
Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym przydaje się, gdy:
- Znasz długość boku trójkąta i chcesz obliczyć wysokość.
- Potrzebujesz obliczyć pole trójkąta równobocznego. (Pole = (a*h)/2)
- Rozwiązujesz zadania z geometrii, w których występują trójkąty równoboczne.
Przykładowe zadania
Zadanie 1: Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 6 cm.
Rozwiązanie: h = (6√3) / 2 = 3√3 cm.
Zadanie 2: Pole trójkąta równobocznego wynosi 9√3. Oblicz długość boku tego trójkąta.
Rozwiązanie: Wiemy, że Pole = (a*h)/2 i h = (a√3)/2. Czyli Pole = (a * (a√3)/2) / 2 = (a²√3)/4.
Mamy (a²√3)/4 = 9√3. Dzielimy obie strony przez √3, więc a²/4 = 9. Mnożymy obie strony przez 4, więc a² = 36.
Pierwiastkujemy obie strony, więc a = 6.
Długość boku wynosi 6.
Skąd się bierze ten wzór? (Dla ciekawskich)
Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym wynika z twierdzenia Pitagorasa.
Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne.
W każdym z tych trójkątów prostokątnych:
- Przeciwprostokątna ma długość a (bok trójkąta równobocznego).
- Jedna przyprostokątna ma długość a/2 (połowa boku trójkąta równobocznego).
- Druga przyprostokątna to wysokość h.
Z twierdzenia Pitagorasa: (a/2)² + h² = a².
Po przekształceniach otrzymujemy: h² = a² - (a²/4) = (3a²)/4.
Pierwiastkując obie strony, otrzymujemy: h = (a√3) / 2.
Zapamiętaj!
Wzór na wysokość w trójkącie równobocznym: h = (a√3) / 2
a to długość boku.
h to wysokość.
Podsumowanie
Super! Przeszliśmy przez wszystko, co najważniejsze dotyczące wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym.
Pamiętaj: zdefiniowaliśmy trójkąt równoboczny, omówiliśmy pojęcie wysokości, przedstawiliśmy wzór, pokazaliśmy jak go używać i rozwiązaliśmy kilka przykładowych zadań. Dodatkowo wytłumaczyliśmy skąd ten wzór się bierze!
Teraz możesz śmiało przystąpić do rozwiązywania zadań. Powodzenia na egzaminie!
