Zacznijmy od podstaw. Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym (90 stopni). Boki tworzące kąt prosty nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna.
Teraz zajmiemy się wysokością trójkąta prostokątnego. Wysokość to odcinek prostopadły poprowadzony z wierzchołka trójkąta do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
Wysokości w trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym sytuacja jest specyficzna. Dwie z wysokości to po prostu przyprostokątne. Są one prostopadłe do siebie, tworząc kąt prosty. Trzecia wysokość jest poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. To właśnie na znalezieniu długości tej trzeciej wysokości się skupimy.
Oznaczmy: a i b - długości przyprostokątnych, c - długość przeciwprostokątnej, a h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. Naszym celem jest znalezienie wzoru na h w zależności od a, b i c.
Wzór na wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną
Istnieją dwa główne sposoby wyprowadzenia wzoru na h. Pierwszy sposób wykorzystuje pole trójkąta, a drugi podobieństwo trójkątów.
Sposób 1: Wykorzystanie pola trójkąta
Pole trójkąta możemy obliczyć na dwa sposoby. Pierwszy sposób, znany z podstawówki, to połowa iloczynu podstawy i wysokości. W trójkącie prostokątnym, możemy wybrać jedną przyprostokątną jako podstawę, a drugą jako wysokość. Zatem pole trójkąta (P) wynosi: P = (a * b) / 2.
Drugi sposób obliczenia pola to również połowa iloczynu podstawy i wysokości, ale tym razem bierzemy pod uwagę przeciwprostokątną jako podstawę, a h jako wysokość. Zatem: P = (c * h) / 2.
Skoro oba wzory opisują to samo pole, możemy je przyrównać: (a * b) / 2 = (c * h) / 2. Mnożąc obie strony przez 2, otrzymujemy: a * b = c * h. Teraz wystarczy podzielić obie strony przez c, aby wyznaczyć h. Otrzymujemy wzór: h = (a * b) / c.
Sposób 2: Wykorzystanie podobieństwa trójkątów
Wysokość h opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt prostokątny na dwa mniejsze trójkąty prostokątne. Te dwa mniejsze trójkąty są podobne do siebie i do wyjściowego, dużego trójkąta. To wynika z cechy kąt-kąt podobieństwa trójkątów.
Oznaczmy punkty: wierzchołek kąta prostego jako A, wierzchołek naprzeciw przyprostokątnej a jako B, wierzchołek naprzeciw przyprostokątnej b jako C, a punkt, w którym wysokość h przecina przeciwprostokątną jako D. Wtedy mamy trójkąt ABC (duży trójkąt), trójkąt ABD oraz trójkąt ACD.
Z podobieństwa trójkątów ABC i ACD wynika, że stosunek odpowiednich boków jest równy. W szczególności: h / a = b / c. Przekształcając to równanie, otrzymujemy h = (a * b) / c. Analogicznie, analizując podobieństwo trójkątów ABC i ABD, również otrzymamy ten sam wzór.
Przykład
Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a = 3 cm i b = 4 cm. Aby obliczyć wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną, najpierw musimy obliczyć długość przeciwprostokątnej c. Używamy twierdzenia Pitagorasa: c2 = a2 + b2. Zatem, c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Stąd, c = 5 cm.
Teraz możemy obliczyć h: h = (a * b) / c = (3 * 4) / 5 = 12 / 5 = 2.4 cm. Zatem wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość 2.4 cm.
Podsumowanie
Wzór na wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym to: h = (a * b) / c, gdzie a i b to długości przyprostokątnych, a c to długość przeciwprostokątnej. Możemy go wyprowadzić, korzystając z pola trójkąta lub podobieństwa trójkątów. Znajomość tego wzoru jest przydatna w rozwiązywaniu różnorodnych zadań z geometrii.
Pamiętaj, żeby zawsze dokładnie analizować treść zadania i sprawdzać, jakie dane są dostępne. Czasami zamiast bezpośredniego stosowania wzoru, konieczne jest wykorzystanie innych własności trójkątów prostokątnych, takich jak twierdzenie Pitagorasa lub funkcje trygonometryczne.
