Hej! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii? Super! Dzisiaj zajmiemy się rombem i obliczaniem jego wysokości, mając dane przekątne. Brzmi trochę skomplikowanie, ale zobaczysz, że to całkiem proste! Powodzenia!
Czym jest Romb? Przypomnienie podstaw.
Zacznijmy od przypomnienia, czym w ogóle jest romb.
Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości. Pamiętaj o tym!
Oprócz tego, przeciwległe kąty w rombie są równe, a przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy.
Zapamiętaj te własności, bo przydadzą się nam później!
Przekątne Rombu
Przekątne rombu są bardzo ważne.
Oznaczamy je zazwyczaj jako d1 i d2.
d1 to długość jednej przekątnej, a d2 to długość drugiej przekątnej.
Pole Rombu – Podstawa do Obliczenia Wysokości
Kluczem do znalezienia wzoru na wysokość rombu jest pole rombu.
Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby.
Pierwszy sposób to standardowy wzór na pole każdego równoległoboku: P = a * h, gdzie a to długość boku, a h to wysokość rombu.
Drugi sposób wykorzystuje właśnie przekątne rombu: P = (d1 * d2) / 2.
I to właśnie ten drugi wzór nas interesuje!
Wzór na Wysokość Rombu z Przekątnych
Skoro znamy dwa wzory na pole rombu, możemy je do siebie przyrównać.
Mamy więc: a * h = (d1 * d2) / 2.
Chcemy obliczyć wysokość h, więc musimy ją wyznaczyć z tego równania.
Otrzymujemy: h = (d1 * d2) / (2 * a).
Ale zaraz, zaraz! Skąd wziąć a, czyli długość boku rombu?
Obliczanie Długości Boku Rombu z Przekątnych
Tutaj przyda się nam Twierdzenie Pitagorasa i wspomniana wcześniej własność rombu, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy.
Połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest właśnie bok rombu a.
Zatem, z Twierdzenia Pitagorasa: a² = (d1/2)² + (d2/2)².
Czyli: a = √((d1/2)² + (d2/2)²).
Upraszczając: a = √(d1²/4 + d2²/4).
Możemy to jeszcze zapisać jako: a = √( (d1² + d2²) / 4 ).
A ostatecznie: a = (√(d1² + d2²)) / 2.
Podstawiamy do Wzoru na Wysokość
Teraz, kiedy mamy już wzór na a, możemy go podstawić do wzoru na wysokość rombu:
h = (d1 * d2) / (2 * a).
Podstawiając a, otrzymujemy: h = (d1 * d2) / (2 * ((√(d1² + d2²)) / 2)).
Upraszczając, dwójki się skrócą i otrzymujemy ostateczny wzór:
h = (d1 * d2) / √(d1² + d2²).
To jest wzór na wysokość rombu, mając dane jego przekątne!
Przykładowe Zadanie
Sprawdźmy to na przykładzie.
Załóżmy, że mamy romb, którego przekątne mają długości d1 = 6 i d2 = 8.
Obliczmy jego wysokość.
h = (d1 * d2) / √(d1² + d2²).
h = (6 * 8) / √(6² + 8²).
h = 48 / √(36 + 64).
h = 48 / √100.
h = 48 / 10.
h = 4.8.
Wysokość tego rombu wynosi 4.8.
Podsumowanie
Podsumujmy najważniejsze informacje:
- Romb to czworokąt o wszystkich bokach równej długości.
- Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy.
- Pole rombu można obliczyć jako P = (d1 * d2) / 2, gdzie d1 i d2 to długości przekątnych.
- Długość boku rombu można obliczyć jako a = (√(d1² + d2²)) / 2.
- Wysokość rombu, mając dane przekątne, można obliczyć ze wzoru: h = (d1 * d2) / √(d1² + d2²).
Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiąż więcej zadań, a na pewno wszystko zrozumiesz. Powodzenia na egzaminie!
