Witaj! Poznajmy razem wzór na współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej.
Funkcja kwadratowa to taka "uśmiechnięta" lub "smutna" parabola. Wyobraź sobie, że jedziesz na rollercoasterze. Najwyższy punkt (górka) albo najniższy punkt (dołek) to właśnie wierzchołek paraboli.
Jak go znaleźć? Potrzebujemy do tego wzoru.
Postać ogólna funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa zazwyczaj wygląda tak: f(x) = ax2 + bx + c.
a, b, i c to liczby. Mogą być dodatnie, ujemne lub zerowe (ale a nie może być zerem, bo inaczej to już nie będzie funkcja kwadratowa!).
Wyobraź sobie, że masz przepis na ciasto. a, b, i c to ilości różnych składników. Zmieniając te liczby, zmieniasz kształt paraboli.
Współrzędne wierzchołka
Wierzchołek ma dwie współrzędne: x i y. Oznaczamy je zwykle jako p i q. Czyli wierzchołek to punkt W = (p, q).
p to współrzędna x-owa, a q to współrzędna y-owa wierzchołka.
Zapamiętaj: p mówi nam, jak daleko w lewo lub w prawo od osi y znajduje się wierzchołek. q mówi nam, jak wysoko lub nisko od osi x znajduje się wierzchołek.
Wzór na p
Pierwsza współrzędna wierzchołka, czyli p, obliczamy ze wzoru: p = -b / 2a.
Spójrz na to jak na magiczną formułę. Potrzebujesz tylko a i b z równania funkcji kwadratowej, wstawiasz je do wzoru i masz p.
Przykład: Jeśli masz funkcję f(x) = 2x2 + 4x + 1, to a = 2, a b = 4. Zatem p = -4 / (2 * 2) = -1.
Wzór na q
Druga współrzędna wierzchołka, czyli q, ma dwa sposoby obliczenia.
Sposób 1: Możesz wstawić obliczone wcześniej p do wzoru funkcji f(x). Czyli q = f(p).
Sposób 2: Możesz użyć wzoru q = -Δ / 4a, gdzie Δ (delta) = b2 - 4ac.
Delta (Δ) to taki "dyskryminator" funkcji kwadratowej. Mówi nam, ile miejsc zerowych ma funkcja (ale o tym innym razem!).
Obliczanie q sposobem 1
Pamiętasz przykład f(x) = 2x2 + 4x + 1? Obliczyliśmy, że p = -1.
Teraz wstawiamy p = -1 do wzoru funkcji: q = f(-1) = 2*(-1)2 + 4*(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1.
Zatem q = -1.
Obliczanie q sposobem 2
Najpierw obliczamy deltę: Δ = b2 - 4ac = 42 - 4 * 2 * 1 = 16 - 8 = 8.
Następnie wstawiamy deltę do wzoru na q: q = -Δ / 4a = -8 / (4 * 2) = -8 / 8 = -1.
Znowu otrzymaliśmy q = -1. Oba sposoby dają ten sam wynik!
Podsumowanie
Wierzchołek paraboli dla funkcji f(x) = 2x2 + 4x + 1 to punkt W = (-1, -1).
Pamiętaj o wzorach:
- p = -b / 2a
- q = f(p) lub q = -Δ / 4a (gdzie Δ = b2 - 4ac)
Wyobraź sobie, że funkcja kwadratowa to tor dla kulki. Wierzchołek to albo najwyższy punkt, z którego kulka zacznie zjeżdżać, albo najniższy punkt, w którym kulka się zatrzyma.
Znajomość wierzchołka funkcji kwadratowej jest bardzo przydatna. Możemy dzięki niemu rysować wykresy funkcji, rozwiązywać zadania optymalizacyjne (czyli znajdować największą lub najmniejszą wartość) i wiele innych.
Ćwicz obliczanie współrzędnych wierzchołka na różnych przykładach. Im więcej przykładów rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz te wzory.
Powodzenia!
