Zajmijmy się wzorem na przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Graniastosłup ten to prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat.
Definicje i podstawowe pojęcia
Graniastosłup to bryła geometryczna, której dwie podstawy są przystającymi wielokątami, a ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prawidłowy to taki graniastosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Jego ściany boczne to prostokąty prostopadłe do podstawy.
Przekątna graniastosłupa łączy dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie.
Oznaczenia
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
- a – długość krawędzi podstawy (czyli boku kwadratu)
- h – wysokość graniastosłupa
- d – długość przekątnej podstawy
- D – długość przekątnej graniastosłupa
Wzór na przekątną podstawy
Zacznijmy od obliczenia przekątnej podstawy, czyli kwadratu o boku a. Użyjemy twierdzenia Pitagorasa.
Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i a oraz przeciwprostokątnej d. Zatem:
a2 + a2 = d2
2a2 = d2
d = √(2a2)
d = a√2
Wzór na przekątną kwadratu o boku a to d = a√2.
Wzór na przekątną graniastosłupa
Teraz obliczymy przekątną całego graniastosłupa. Wyobraźmy sobie trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątne to: wysokość graniastosłupa h oraz przekątna podstawy d, a przeciwprostokątna to przekątna graniastosłupa D. Ponownie, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
d2 + h2 = D2
Wiemy, że d = a√2, więc:
(a√2)2 + h2 = D2
2a2 + h2 = D2
D = √(2a2 + h2)
Ostateczny wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to D = √(2a2 + h2), gdzie a to długość krawędzi podstawy, a h to wysokość graniastosłupa.
Przykład
Oblicz długość przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 5 cm, a wysokość wynosi 8 cm.
Mamy dane: a = 5 cm, h = 8 cm.
Podstawiamy do wzoru:
D = √(2a2 + h2)
D = √(2 * 52 + 82)
D = √(2 * 25 + 64)
D = √(50 + 64)
D = √114
D ≈ 10.68 cm
Długość przekątnej graniastosłupa wynosi około 10.68 cm.
Podsumowanie
Zapamiętaj wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego: D = √(2a2 + h2). Ważne jest, żeby umieć go wyprowadzić, korzystając z twierdzenia Pitagorasa i znajomości własności kwadratu.
Wiedza ta jest przydatna w wielu zadaniach z geometrii przestrzennej. Pozwala obliczać długości odcinków w przestrzeni trójwymiarowej.
Zastosowania praktyczne
Chociaż na co dzień rzadko obliczamy przekątne graniastosłupów, znajomość geometrii przestrzennej jest ważna w wielu dziedzinach.
- Architektura i budownictwo: Projektowanie budynków i konstrukcji wymaga znajomości geometrii, w tym obliczania wymiarów i kątów.
- Inżynieria: Projektowanie maszyn, urządzeń i mostów.
- Grafika komputerowa i gry: Tworzenie trójwymiarowych modeli i animacji.
- Fizyka: Opisywanie ruchu i interakcji obiektów w przestrzeni.
Rozwiązywanie zadań z geometrii przestrzennej rozwija wyobraźnię przestrzenną i umiejętność logicznego myślenia.
